求论坛大神解一道数学题

wsadjkl255

爪机专用

擦，这不是一道题，而是N道题，这小问也太多了吧。。。

kuing

第（III）就跟前面的毫无关联，而且是个水母。
由
\[\ln x\leqslant x-1 \riff \frac k{1+\ln k}\geqslant 1,\]
故
\[\sum_{k=1}^n\frac k{1+\ln k}\geqslant n>\ln (n+1).\]

kuing

（iii）也是用老招式啦
\[\led
\frac{x_1}a&=1+\ln x_1, \\
\frac{x_2}a&=1+\ln x_2,
\endled\]
得
\[a=\frac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}, \]
于是
\[x_1x_2>1\iff\ln x_1+\ln x_2>0\iff\frac{x_1+x_2}a>2\iff\frac{x_1+x_2}2>\frac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}, \]
又是算术—对数平均值不等式。

kuing

（ii）设 $x_1=1/b$, $x_2=1/c$，则 $b>c>0$，且
\[\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}=b-c, \]
由条件易得
\[b-b\ln b=c-c\ln c=\frac1a, \]
令 $g(x)=x-x\ln x$，求导得 $g'(x)=-\ln x$，故 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上递增，在 $(1,+\infty)$ 上递减，故此由 $g(b)=g(c)=1/a$ 且 $b>c$ 可得 $b>1>c$ 且当 $a$ 增大时 $b$ 增大，$c$ 减少，故此 $b-c$ 增大。

kuing

前面的就没兴趣玩了，从下往上做的过程可以看出，这些小问之间关联不大，印证了2楼。

敬畏数学

太牛了！。这题第一问也有点不会啊，如何说明x——》无穷大时，为正？第二问证明只能勉强证出右边，左边如何证明？请教。。。

敬畏数学

(II)的（i）原来是一道错题，不等式方向错误,应该是x2-x1>=1.
若函数f(x)有零点，则1<a<5/2,又由已知条件有：1/2<=x1<=3/2<=x2<=5/2,即为f(x)两零点的范围，则需满足f(1/2)>=0,f(3/2)<=0,f(5/2)>=0,解不等式组得；
3/(2+ln9-ln4)<=a<=5/(2+ln(25/4))
所以得证：3/（ln2+ln9）<3/(2+ln9-ln4)<=a<=5/(2+ln(25/4))<1/(2-ln4)。
有问题，请指出。