数列

hjfmhh

其妙

回复 1# hjfmhh
第一题：可以证明$2^{n+2}-7a_n^2=(a_n+2a_{n+1})^2$

abababa

回复 2# 其妙

这是怎么得到的？要是有具体公式，用数学归纳法可能能证明吧，我没试。
我用通项公式和软件算到最后，值是$2^{n+2} \cos ^2\left(n \tan ^{-1}\left(\sqrt{7}\right)\right)$

kuing

哈，刚才灵感一来，竟然搞粗来了，还是刚想到的方法。

首先待定系数 $k_1$, $p_1$, $k_2$, $p_2$ 使得
\begin{align*}
a_{n+1}-k_1a_n&=p_1(a_n-k_1a_{n-1}), \\
a_{n+1}-k_2a_n&=p_2(a_n-k_2a_{n-1}),
\end{align*}
以往这时候就直接求系数然后迭代下去求通项了，这里我先不这样搞，而是直接把它们相乘，得到
\[a_{n+1}^2+k_1k_2a_n^2-(k_1+k_2)a_{n+1}a_n
=p_1p_2\bigl(a_n^2+k_1k_2a_{n-1}^2-(k_1+k_2)a_na_{n-1}\bigr),\]
于是
\[a_{n+1}^2+k_1k_2a_n^2-(k_1+k_2)a_{n+1}a_n
=(p_1p_2)^{n-1}\bigl(a_2^2+k_1k_2a_1^2-(k_1+k_2)a_2a_1\bigr),\]
再来看系数，与原递推式比较，易见 $k_1$, $p_1$, $k_2$, $p_2$ 是方程组
\[\led
k+p&=-1, \\
kp&=2
\endled\]
的两组解，消 $p$ 得
\[k^2+k+2=0,\]
故
\[\led
k_1+k_2&=-1, \\
k_1k_2&=2,
\endled\]
且
\[p_1p_2=\frac4{k_1k_2}=2,\]
将它们代入，即得
\[a_{n+1}^2+2a_n^2+a_{n+1}a_n=2^{n-1}(a_2^2+2a_1^2+a_2a_1)=2^n,\]
所以
\[2^{n+2}-7a_n^2=4(a_{n+1}^2+2a_n^2+a_{n+1}a_n)-7a_n^2=(2a_{n+1}+a_n)^2,\]
而显然 $a_n$ 均为整数，所以 $2^{n+2}-7a_n^2$ 为完全来方数。

其妙

回复 4# kuing
这种题有套路的，
不过你的这种解法还是别出心裁的，赞一个！

test

回复 5# 其妙

写一下你的解法啊

nash

回复 4# kuing NB