2015 北大自主招生第四题

longzaifei

4、已知$a,b,c∈Z$，且$(a−b)(b−c)(c−a)=a+b+c$，则$a+b+c$可能为（        ）

A．126
B．144
C．162
D．以上都不对

kuing

不妨设 $c=a+x$, $b=a+y$，则 $x$, $y\inZ$，代入式中有
\[xy(x-y)=3a+x+y.\]

（1）若 $3\mid xy$，则由上式显然有 $3\mid x+y$，于是必有 $3\mid x$ 且 $3\mid y$；

（2）若 $3\nmid xy$，设 $k_1$, $k_2\inZ$，则：

（2-1）若 $x=3k_1\pm1$ 且 $y=3k_2\pm1$，则左边被 $3$ 整除，而右边不被 $3$ 整除，矛盾；

（2-2）若 $x=3k_1\pm1$ 且 $y=3k_2\mp1$，则左边不被 $3$ 整除，而右边被 $3$ 整除，矛盾。

综上可知必有 $3\mid x$ 且 $3\mid y$，所以 $27\mid xy(x-y)$，即 $27\mid a+b+c$，只有 C 符合这一点，最后再举一个实例说明 C 确实有可能，那就是 $a=49$, $b=55$, $c=58$。

longzaifei

受kuing的启发，我得到如下的解法
（1）若$a,b,c$模3的结果都不一样
       则等式左边不能被3整除，等式右边可以被3整除，矛盾
（2）若$a,b,c$模3的结果有两个一样
       则左边可以被3整除，右边如果要被3整除，则三个数模3的结果都一样，因此等式左边可以被27整除，所以$a+b+c$可以被27整除。

kuing

回复 3# longzaifei

soga，这样一优化后简洁多了