请教难题（$|\ln x+ax+b|$ 区间上最大值，恒成立问题）

word3000

第一次发帖，谢谢大家

kuing

其实还是那种常见类型，只不过这次换成了 $\ln x$，但又单调，反而简单，然后恒成立又换了一个表达方法，搞成了集合，效果就是能吓吓人而已。

记 $g(x)=\ln x+ax+b$，则
\[2M_t(a,b)\geqslant \abs{g(t)}+\abs{g(t+2)}\geqslant \abs{g(t)-g(t+2)}=\ln\frac{t+2}t+2a,\]
即得
\[M_t(a,b)\geqslant \frac12\ln\frac{t+2}t+a,\quad (*)\]
然后验证取等，当\[b=-\ln t-at-\frac12\ln\frac{t+2}t-a\]时易知 $g(x)$ 在 $[t,t+2]$ 上的值域为
\[\left[ -\frac12\ln\frac{t+2}t-a,\frac12\ln\frac{t+2}t+a \right],\]
故此式 (*) 的等号一定能取到。

依题意，有 $M_t(a,b)\geqslant \ln 2+a$ 对任意 $b\inR$ 恒成立，根据上述结果，这等价于
\[\frac12\ln\frac{t+2}t\geqslant \ln 2,\]
解得 $t\leqslant 2/3$，所以 $t$ 的最大值就是 $2/3$。

kuing

改了一下标题，方便以后搜索等

word3000

谢谢