四个单位向量求最大值

word3000

kuing

\begin{align*}
y^2&=(\abs{\bm x-\bm a}+\abs{\bm x-\bm b}+\abs{\bm x-\bm c})^2\\
&\leqslant 3(\abs{\bm x-\bm a}^2+\abs{\bm x-\bm b}^2+\abs{\bm x-\bm c}^2)\\
&=3\bigl(6-2\bm x\cdot(\bm a+\bm b+\bm c)\bigr)\\
&=18,
\end{align*}
即 $y\leqslant 3\sqrt2$，下面看取等条件，由 $\bm a+\bm b+\bm c=\bm0$ 知 $\bm a$, $\bm b$, $\bm c$ 共面，于是当 $\bm x$ 垂直于该面时 $\abs{\bm x-\bm a}=\abs{\bm x-\bm b}=\abs{\bm x-\bm c}=\sqrt2$，此时 $y=3\sqrt2$，这就是取等条件。

PS、题目没有交待向量的维数，所以当作是空间向量处理，而如果限制为平面向量，则结果是 $4$，可用几何法解。

isee

\begin{align*}
y^2&=(\abs{\bm x-\bm a}+\abs{\bm x-\bm b}+\abs{\bm x-\bm c})^2\\
&\leqslant 3(\abs{\b ...
kuing 发表于 2016-8-16 12:56

哈哈，这个平面与空间，结果还不同，有点意思。

word3000

回复 2# kuing


    谢谢

kuing

将图片旋转了下顺便改了标题

isee

将图片旋转了下顺便改了标题
kuing 发表于 2016-8-17 02:20

     这个题挻好玩的，从几何角度不是很难，也不是很容易，而且空间与平面结果不同，很有意思，很好的向量小题。

走走看看

回复 6# isee

傻傻地问一句：为什么是平面向量时，就不能用不等式呢？
在这个论坛，我看到不少平面向量题，都是用不等式解的呀。

我画了个图，但没有找到解决办法。
请赐教！

敬畏数学

平面向量则根据：正三角形外接圆上任一点到三顶点的距离 ,其中最长的等于较短二者之和。空间向量不一样。标记下.

kuing

回复 8# 敬畏数学

标记完就算了？不去把那些 题目并没交待向量是平面向量 而你又直接设 $\bm a=(x,y)$ 之类去解的 给改下？

敬畏数学

回复 9# kuing
感谢提醒。以前还真没有注意到！

走走看看

回复 10# 敬畏数学

如果把x设成（cosθ，sinθ），最后得到如下式子，该怎么办？


用柯西不等式，发现没有一个θ值使得以上三个根号的值都相等。若能相等，总和就是$3\sqrt{2}$。

让两个式子相等，另一个式子最大，可以令θ=0，则总和为4。

如果不设x坐标，而是根据对称性，设x向量对应的X在CB劣弧上，记∠XOC=θ（0°≤θ≤120°），则可以得到所求为XA+XB+XC=$4sin(\frac{θ}{2}+\frac{π}{3})$。

$\frac{θ}{2}+\frac{π}{3} ∈[\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，可得上述平面向量的最大值和最小值。

游客

空间就是一个球和椭球，先把其中一个距离看做定值，然后三个位置轮换，明确取最大值的位置。

走走看看

与 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=8022&extra=page%3D1 有关联性，区别就在于平面向量和空间向量。

若作为空间向量来看，是否有最小值呢？