四面体有棱切球的一个充要条件

hejoseph

四面体 $ABCD$ 中二面角 $D\text{-}AB\text{-}C$ 的平面角是 $\alpha_{AB}$，二面角 $B\text{-}AC\text{-}D$ 的平面角是 $\alpha_{AC}$，二面角 $C\text{-}AD\text{-}B$ 的平面角是 $\alpha_{AD}$，二面角 $A\text{-}BC\text{-}D$ 的平面角是 $\alpha_{BC}$，二面角 $A\text{-}BD\text{-}C$的平面角是 $\alpha_{BD}$，二面角 $A\text{-}CD\text{-}B$ 的平面角是 $\alpha_{CD}$，证明 $AB+CD=AC+BD=AD+BC$ 的充要条件是 $\alpha_{AB}+\alpha_{CD}=\alpha_{AC}+\alpha_{BD}= \alpha_{AD}+ \alpha_{BC}$。

hejoseph

设四面体 $ABCD$ 的体积是 $V$，$\triangle ABC$ 的面积是 $S_1$，$\triangle ABD$ 的面积是 $S_2$，$\triangle ACD$  的面积是 $S_3$，$\triangle BCD$ 的面积是 $S_4$。

充分性

设 $AB = a$，$AC = b$，$AD = c$，$CD = p$，$BD = q$，$BC = r$，则
\begin{align*}
\cos \alpha_{AB} &= \frac{a^2\left(b^2 + q^2 + c^2 + r^2 - a^2 - p^2\right) - \left(b^2 - r^2\right)\left(c^2 - q^2\right) - a^2p^2}{16S_1S_2} ， \sin \alpha_{AB} = \frac{3aV}{2S_1S_2} ， \\
\cos \alpha_{AC} &= \frac{b^2\left(a^2 + p^2 + c^2 + r^2 - b^2 - q^2\right) - \left(a^2 - r^2\right)\left(c^2 - p^2\right) - b^2q^2}{16S_1S_3} ， \sin \alpha_{AC} = \frac{3bV}{2S_1S_3} ， \\
\cos \alpha_{AD} &= \frac{c^2\left(a^2 + p^2 + b^2 + q^2 - c^2 - r^2\right) - \left(a^2 - q^2\right)\left(b^2 - p^2\right) - c^2r^2}{16S_2S_3} ， \sin \alpha_{AD} = \frac{3cV}{2S_2S_3} ， \\
\cos \alpha_{BC} &= \frac{r^2\left(a^2 + p^2 + b^2 + q^2 - c^2 - r^2\right) - \left(a^2 - b^2\right)\left(q^2 - p^2\right) - c^2r^2}{16S_1S_4} ， \sin \alpha_{BC} = \frac{3rV}{2S_1S_4} ， \\
\cos \alpha_{BD} &= \frac{q^2\left(a^2 + p^2 + c^2 + r^2 - b^2 - q^2\right) - \left(a^2 - c^2\right)\left(r^2 - p^2\right) - b^2q^2}{16S_2S_4} ， \sin \alpha_{BD} = \frac{3qV}{2S_2S_4} ， \\
\cos \alpha_{CD} &= \frac{p^2\left(b^2 + q^2 + c^2 + r^2 - a^2 - p^2\right) - \left(b^2 - c^2\right)\left(r^2 - q^2\right) - a^2p^2}{16S_3S_4} ， \sin \alpha_{CD} = \frac{3pV}{2S_3S_4} 。
\end{align*}
计算化简得
\begin{align*}
\cos\left(\alpha_{AB}+\alpha_{CD}\right)-\cos\left(\alpha_{AC}+\alpha_{BD}\right)&=-\frac{9V^2\left(a+p+b+q\right)\left(a+p-b-q\right)}{8S_1S_2S_3S_4}，\\
\cos\left(\alpha_{AB}+\alpha_{CD}\right)-\cos\left(\alpha_{BC}+\alpha_{AD}\right)&=-\frac{9V^2\left(a+p+c+r\right)\left(a+p-c-r\right)}{8S_1S_2S_3S_4}。
\end{align*}
因为 $\alpha_{AB}+\alpha_{CD}=\alpha_{AC}+\alpha_{BD}=\alpha_{BC}+\alpha_{AD}$，则由上面的结论得 $a+p=b+q$，$a+p=c+r$，即 $AB+CD=AC+BD=AD+BC$。

必要性

因为 $AB+CD=AC+BD=AD+BC$，设 $AB=w+x$，$AC=w+y$，$AD=w+z$，$BC=x+y$，$BD=x+z$，$CD=y+z$，则
\begin{align*}
&\sin\left(\alpha_{AB}+\alpha_{CD}\right)=\sin\left(\alpha_{AC}+\alpha_{BD}\right)=\sin\left(\alpha_{BC}+\alpha_{AD}\right)=\frac{3wxyz\left(w+x+y+z\right)V}{2S_1S_2S_3S_4}，\\
&\cos\left(\alpha_{AB}+\alpha_{CD}\right)=\cos\left(\alpha_{AC}+\alpha_{BD}\right)=\cos\left(\alpha_{BC}+\alpha_{AD}\right)=-\frac{wxyzt}{2S_1S_2S_3S_4}，
\end{align*}
其中
\[
t=w^2\left(xy+xz+yz\right)+x^2\left(wy+wz+yz\right)+y^2\left(wx+wz+xz\right)+z^2\left(wx+wy+xy\right)+2wxyz，
\]
所以 $\alpha_{AB}+\alpha_{CD}=\alpha_{AC}+\alpha_{BD}=\alpha_{BC}+\alpha_{AD}$。

力工

回复 2# hejoseph

何版强！你怎么算出来的啊，我看着都觉得头晕！

hejoseph

当然不是手算的，我是用Mathematica计算的，但是角、面积、体积的公式自己要先知道

hejoseph

与上面命题几乎一样的命题：
四面体 $ABCD$ 中二面角 $D\text{-}AB\text{-}C$ 的平面角是 $\alpha_{AB}$，二面角 $B\text{-}AC\text{-}D$ 的平面角是 $\alpha_{AC}$，二面角 $C\text{-}AD\text{-}B$ 的平面角是 $\alpha_{AD}$，二面角 $A\text{-}BC\text{-}D$ 的平面角是 $\alpha_{BC}$，二面角 $A\text{-}BD\text{-}C$的平面角是 $\alpha_{BD}$，二面角 $A\text{-}CD\text{-}B$ 的平面角是 $\alpha_{CD}$，则 $AB-CD=AC-BD=AD-BC$ 的充要条件是 $\alpha_{AB}-\alpha_{CD}=\alpha_{AC}-\alpha_{BD}=\alpha_{AD}-\alpha_{BC}$。
此时四面体有另外一种棱切球，如图，红色部分是四面体内部，点 $A$ 是最上方的点：

hejoseph

两种棱切球有统一的半径计算公式：四面体体积是 $V$，各顶点到球的切线长分别是 $w$、$x$、$y$、$z$，则棱切球半径为
\[
\frac{2wxyz}{3V}。
\]