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可以得反常积分来判别一类正项级数的敛散性.
积分判别法 若可积函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上恒取非负值且单调递减，则反常积分$\int_0^{+\infty}f(x)dx$与级数$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$有相同的敛散性。
证明 令$S_n=\sum_{i=1}^nf(i)$，$I_n=\int_0^nf(x)dx$，则$S_n$和$I_n$都是单调增加的数列，又
\[ I_n=\sum_{i=1}^n\int_{i-1}^if(x)dx \]
由单调性，有
\[ \sum_{i=1}^nf(i) \leqslant I_n \leqslant \sum_{i=1}^nf(i-1) \]
即
\[ S_n \leqslant I_n \leqslant f(0)+S_{n-1} \]
可见，如果级数$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$收敛，则$S_n$有极限$S$，则$I_n$单调增加并有上界$f(0)+S$，因而$I_n$有极限(不一定是$S$)，即反常积分$\int_{i=1}^{+\infty}f(x)dx$收敛。反之，如果反常积分收敛，则$I_n$有极限$I$，这时$S_n$单调增加并有上界$I$，因此$S_n$收敛，即级数$\sum_{i=1}^{\infty}f(n)$收敛。
需要说明的是，上述定理中的区间可以是任意的左闭右开区间$[a,+\infty)$，这时级数只要从大于$a$的任一正整数开始即可，从定理证明过程可以看出这并没有什么影响。
例 对于正实数$p$,考虑如下的级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p} \]
对应的函数$f(x)=1/x^p$在$[1/2,+\infty)$上单调递减，由于$p>1$时反常积分$\int_1^{+\infty}f(x)dx$收敛，所以此时级数也收敛，在$p \leqslant 1$时反常积分是发散的，所以此时级数也是发散的。 |
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facebooker
发表于 2019-7-11 04:01
kuing
发表于 2021-5-16 13:15
能否解释一下
