一个根式等式

hejoseph

证明
\[
\sqrt{4+\sqrt[3]{-26+6\sqrt{33}}+\sqrt[3]{-26-6\sqrt{33}}}+\sqrt{\sqrt[3]{54+6\sqrt{33}}+\sqrt[3]{54-6\sqrt{33}}}=\sqrt{8+2\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+2\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}}。
\]

比起昨天那个二次根式等式，这个更难，这是从扭棱正十二面体几何量计算中得到的。

isee

回复 1# hejoseph


    原创题，这个厉害。

力工

何版有苏俄研究风格！这种题我表示手足无措！

hejoseph

回复 3# 力工
这不算什么研究了，倒是做多面体量的计算的时候非常多这些等式。

hejoseph

令
\begin{align*}
t&=\sqrt{4+\sqrt[3]{-26+6\sqrt{33}}+\sqrt[3]{-26-6\sqrt{33}}}，\\
u&=\sqrt{\sqrt[3]{54+6\sqrt{33}}+\sqrt[3]{54-6\sqrt{33}}}，\\
v&=\sqrt{8+2\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+2\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}}，
\end{align*}
首先用数值计算发现 $tv=6$，这是证明的关键。
考察
\[
\left(t^2-4\right)^3=52-24\left(\sqrt[3]{-26+6\sqrt{33}}+\sqrt[3]{-26-6\sqrt{33}}\right)=52-24\left(t^2-4\right)，
\]
整理得
\[
t^6-12t^4+72t^2-108=0，
\]
同理可得
\[
v^6-24v^4+144v^2-432=0，
\]
若令 $v=6/t'$ 代入上面的方程，整理得
\[
t'^6-12t'^4+72t'^2-108=0，
\]
而方程 $x^3-12x^2+72x-108=0$ 和 $x^3-24x^2+144x-432=0$ 均只有一个实数根，所以 $tv=6$。
$t+u=v$ 两边乘以 $v$，得 $tv+uv=v^2$，即 $uv=v^2-uv=v^2-6$，而（需要用到 $\left(9\pm \sqrt 3\right)^3=1620\pm 276\sqrt{33}=\left(54\pm 6\sqrt{33}\right)\times\left(19\pm 3\sqrt{33}\right)$）
\begin{align*}
uv&=\sqrt{36+12\sqrt[3]{54+6\sqrt{33}}+12\sqrt[3]{54-6\sqrt{33}}}，\\
v^2-6&=2+2\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+2\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}，
\end{align*}
最后就是要证明
\[
36+12\sqrt[3]{54+6\sqrt{33}}+12\sqrt[3]{54-6\sqrt{33}}=\left(2+2\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+2\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}\right)^2
\]
右边展开，再利用 $9\pm \sqrt 3=\sqrt[3]{54\pm 6\sqrt{33}}\times\sqrt[3]{19\pm 3\sqrt{33}}$ 即可。

hbghlyj

一般地：

$v^2$是任意的3次代数数，$t=\frac6v$和$u=v-\frac6v$，则$t^2,u^2$是3次代数数

随机写一个不可约3次多项式$x^3 - 4 x^2 - 5 x - 6$
只有1个实根Root[x^3 - 4 x^2 - 5 x - 6, 1]
\[x = \frac13 (4 + \root3\of{235 - 9\sqrt{314}}+ \root3\of{235 + 9\sqrt{314}})\]
令$v=\sqrt x=\sqrt{\frac13 (4 + \root3\of{235 - 9\sqrt{314}}+ \root3\of{235 + 9\sqrt{314}})}$，则
\[t=\frac6v=\sqrt{36\over x}=\sqrt{\sqrt[3]{432 \sqrt{314}+7208}-\sqrt[3]{432 \sqrt{314}-7208}-10}\]以及
\[u=v-\frac6v=-\sqrt{v^2+\frac{36}{v^2}-12}=-\sqrt{\frac{1}{3} \left(\sqrt[3]{13491 \sqrt{314}+235261}-\sqrt[3]{13491 \sqrt{314}-235261}-62\right)}\]
代入$v=u+t$得
\begin{multline*}
\sqrt{\sqrt[3]{432 \sqrt{314}+7208}-\sqrt[3]{432 \sqrt{314}-7208}-10}
\\-\sqrt{\frac{1}{3} \left(\sqrt[3]{13491 \sqrt{314}+235261}-\sqrt[3]{13491 \sqrt{314}-235261}-62\right)}
\\=\sqrt{\frac{1}{3} \left(\sqrt[3]{9 \sqrt{314}+235}+\sqrt[3]{235-9 \sqrt{314}}+4\right)}
\end{multline*}验证：

1. Sqrt[((7208+432 Sqrt[314])^(1/3)-(-7208+432 Sqrt[314])^(1/3)-10)]-Sqrt[((235261+13491 Sqrt[314])^(1/3)-(-235261+13491 Sqrt[314])^(1/3)-62)/3]-Sqrt[1/3 (4+(235-9 Sqrt[314])^(1/3)+(235+9 Sqrt[314])^(1/3))]//RootReduce

复制代码

输出0

hbghlyj

hejoseph 发表于 2017-9-22 14:46
比起昨天那个二次根式等式

这是哪个等式呢？已找到

kuing

hbghlyj 发表于 2023-9-15 18:37
这是哪个等式呢没找到发表于 2017-9-21 的帖子

应该是这个：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=4887

你没找到是因为时差吗？

hbghlyj

kuing 发表于 2023-9-15 22:27
应该是这个：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=4887

建議可以指定搜索时间段

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-9-15 09:25
$v^2$是任意的3次代数数，$t=\frac6v$和$u=v-\frac6v$，则$t^2,u^2$是3次代数数

$u^2=v^2-12+\frac{36}{v^2}$在三次数域$\mathbb Q(v^2)$中，所以$u^2$是3次代数数