来自减压群的外心向量系数最值

kuing

生如夏花(2365*****) 16:13:07

与这帖类似，但差个系数，后面的运算稍麻烦。

和那帖类似地有
\begin{align*}
x+2y&=\frac {\sin 2B+2\sin 2C}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}\\
&=2-\frac {\sin 2B+\sqrt 3}{\frac {\sqrt 3}2+\sin 2B+\sin 2C}\\
&=2-\frac {\sin 2B+\sqrt 3}{\frac {\sqrt 3}2+\sin 2B+\sin (240\du-2B)}\\
&=2-\frac 2{\sqrt 3}\cdot \frac {\sin 2B+\sqrt 3}{1+\sqrt 3\sin 2B-\cos 2B},
\end{align*}
令
\[t=\frac {\sin 2B+\sqrt 3}{1+\sqrt 3\sin 2B-\cos 2B},\]
整理为
\[\bigl(\sqrt 3t-1\bigr)\sin 2B-t\cos 2B=\sqrt 3-t,\]
则
\[\sqrt 3-t\leqslant \sqrt {\bigl(\sqrt 3t-1\bigr)^2+t^2},\]
显然 $t$ 为正，由此解得 $t\geqslant \sqrt {2/3}$，所以
\[x+2y\leqslant 2-\frac 2{\sqrt 3}\cdot \sqrt {\frac 23}=2-\frac {2\sqrt 2}3,\]
取等懒得写。

kuing

再来一种变形
\begin{align*}
x+2y&=\frac {\sin 2B+2\sin 2C}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}\\
&=2-\frac {2\sin 2A+\sin 2B}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}\\
&=2-\frac {2\sin 2A+\sin 2B}{4\sin A\sin B\sin C}\\
&=2-\frac {\sqrt 3+\sin 2B}{2\sqrt 3\sin B\sin (120\du-B)}\\
&=2-\frac {\sqrt 3(\sin ^2B+\cos ^2B)+2\sin B\cos B}{\sqrt 3\sin B\bigl(\sqrt 3\cos B+\sin B\bigr)}\\
&=2-\frac {\sqrt 3(1+\cot ^2B)+2\cot B}{\sqrt 3\bigl(\sqrt 3\cot B+1\bigr)}\\
&=2-\frac 13\left( \sqrt 3\cot B+1+\frac 2{\sqrt 3\cot B+1} \right)\\
&\leqslant 2-\frac {2\sqrt 2}3,
\end{align*}
还是挺麻烦，不过这个取等条件够明显。

kuing

又或者这样
\begin{align*}
x+2y&=\frac {\sin 2B+2\sin 2C}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}\\
&=\frac {2\sin B\cos B+4\sin C\cos C}{4\sin A\sin B\sin C}\\
&=\frac 1{2\sin A}\left( \frac {\cos B}{\sin C}+\frac {2\cos C}{\sin B} \right)\\
&=\frac 1{\sqrt 3}\left( \frac {\cos B}{\sin (120\du-B)}+\frac {2\cos (120\du-B)}{\sin B} \right)\\
&=\frac 1{\sqrt 3}\left( \frac {2\cos B}{\sqrt 3\cos B+\sin B}+\frac {-\cos B+\sqrt 3\sin B}{\sin B} \right)\\
&=\frac 1{\sqrt 3}\left( \frac {2\cot B}{\sqrt 3\cot B+1}-\cot B+\sqrt 3 \right)\\
&=2-\frac 13\left( \sqrt 3\cot B+1+\frac 2{\sqrt 3\cot B+1} \right)\\
&\leqslant 2-\frac {2\sqrt 2}3,
\end{align*}
其实都差不多……

kuing

之所以化 cot 而不化 tan，是因为 cotB 的范围连续，而 tanB 就不连续，而且还要另外交待 90 度。

敬畏数学

分别向AB向量，AC向量投影有(设AB=c,AC=b)：
$\begin{cases}
2xc+yb=c \\
xc+2yb=b \\
\end{cases}$
解得：$\begin{cases}
x=\dfrac{2c-b}{3c} \\
y=\dfrac{2b-c}{3b} \\
\end{cases}$
则$x+2y=2-\dfrac{b^2+2c^2}{3bc}\leqslant 2-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$,等号成立：$b=\sqrt{2}c$.
这样玩不难。

wwdwwd117

回复 5# 敬畏数学

这个解法确实是我见到的最简解法，之前在qq群里也见到过了。
基本到现在为止，就是两类解法：
      一个利用外心向量表达，用三角函数解答。
      另一个就是直接用向量运算，化成代数形式。其中，你这种最后化成边，就避免对x，y范围限定的额外工作，所以最简洁。
      但是，我还在想第三种方法，就是利用“等和线”的几何方法。
其实已经发现当AO与BD（D为AC中点）垂直时，取最大值。但是还没找到几何证法。

wwdwwd117

wwdwwd117

回复 7# wwdwwd117


    为了说明x，y的范围还要结合图像，真是一个丑陋的方法，呵呵

kuing

回复 5# 敬畏数学

不错，原来化边会这么简洁，那我再来试试由三角变回边……

依然先写出三角表达
\[x=\frac {\sin 2B}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}=\frac {2\sin B\cos B}{4\sin A\sin B\sin C}=\frac {\cos B}{2\sin A\sin C},\]
由斜影定理 $c=a\cos B+b\cos A$ 及正弦定理 $a\sin C=c\sin A$ 得
\[x=\frac {c-b\cos A}{2a\sin A\sin C}=\frac {c-b\cos A}{2c\sin ^2A}=\frac 1{2\sin ^2A}\left( 1-\frac bc\cos A \right),\]
同理
\[y=\frac 1{2\sin ^2A}\left( 1-\frac cb\cos A \right),\]
于是
\[x+ky=\frac 1{2\sin ^2A}\left( 1+k-\left( \frac bc+k\cdot \frac cb \right)\cos A \right),\]
若 $k$ 为正且 $A$ 为锐角，则
\[x+ky\leqslant \frac 1{2\sin ^2A}\bigl( 1+k-2\sqrt k\cos A \bigr),\]
易知 $b/c$ 可取遍正数，所以等号一定能取到。

wwdwwd117

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