旧问重提——平面斜截圆锥的展开图

kuing

闲逛时看到这帖提到平面斜截圆锥的展开图，多想将《撸题集》第533~534页的内容贴过去，可惜那边注册帐号要花钱，就算了。

回头想想，当年也只是写了椭圆的情况，并未讨论双曲线和抛物线的情形，闲来无事，今天就来把它扯完吧。

为方便看，还是把原文截上来先。

首先直觉告诉我，讨论剩下的两种情形肯定不需要再像上面那样重新搞一遍，事实证明的确如此。

先来看双曲线的，这时要把顶上的圆锥也考虑进来，对应于上面的图 4.7.46，这里就应该画成这样：



其他的都一样，然后同样利用梅捏劳斯定理，有
\[\frac x{2R-x}\cdot\frac{r+b}b\cdot\frac a{r-a}=1,\]
注意此式亦可写成
\[\frac x{2R-x}\cdot\frac{-b-r}{-b}\cdot\frac a{r-a}=1,\]
也就是说，只是将椭圆时的式子的 $b$ 变成 $-b$ 而已，或者干脆设 $\vv{OD}$ 为正方向，令有向线段 $\overline{OB}=b$，这样，双曲线时的方程就和椭圆时完全一样，只是 $b$ 取负数。

再看抛物线的，图是酱紫：



$AQ\px OD$，没有 $B$，此时有
\[\frac x{2R-x}=\frac{r-a}a,\]
注意此式亦可写成
\[\frac x{2R-x}\cdot\frac{\infty-r}\infty\cdot\frac a{r-a}=1,\]
也就是椭圆时的式子的 $b$ 为无穷大而已，因此，将椭圆时的方程变形为
\[r=\frac{2a}{\frac ab+1+\left( 1-\frac ab \right)\cos\frac\theta{\sin\varphi}},\]
那么抛物线时的方程自然就是
\[r=\frac{2a}{1+\cos\frac\theta{\sin\varphi}}.\]

曲线的样子如下图所示，蓝色是抛物线的情形，$b$ 为负时如无意外地出现了两支。


平面斜截圆锥展开图.gsp (4.73 KB, 下载次数: 4342)

2018-1-29 02:17 上传

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kuing

搞这么个动画真是累

isee

回复 2# kuing

    {qiang}

kuing

直接输出png格式效果会好些，来个双曲线的情形，轨迹看起来确实和几何画板里画的差不多，看来应该没什么问题了

其妙

回复 1# kuing
这个动图我。。。。想歪了

isee

回复 5# 其妙

你今天有空路过，奇了怪了。。。。

其妙

回复 6# isee
隔个十天半月还是会回来学习的（比如学习kk的技艺和你的知识等等）

青青子衿

回复 1# kuing
[另一种观点下的展开方法]
可展曲面展开过程中曲线的演化
zhuanlan.zhihu.com/p/75499641

kuing

回复 8# 青青子衿

[一脸懵逼表情]……

hbghlyj

Unrolling a surface

1. Manipulate[ParametricPlot3D[If[ϕ<θ,{ϕ+Sin[θ-ϕ],1-Cos[θ-ϕ],z (2+Cos[θ])},{θ,0,z (2+Cos[θ])}],{θ,0,2 π},{z,0,1},PlotRange->{{-1,7},{-1,2}},PlotStyle->Opacity[0.5],Mesh->{30,10},Axes->False,Boxed->False,Exclusions->None],{ϕ,0,2 Pi}]

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平面截圆锥

1. Manipulate[
2. Show[Graphics3D[
3. {{Opacity[0.5],Red,InfinitePlane[{0,0,z0},{{1,0,0},{1,Cos[α],Sin[α]}}]}
4. },Boxed->boxed
5. ],
6. ParametricPlot3D[{z Cos[θ],z Sin[θ],z},{θ,0,2 π},{z,-5,5},PlotStyle->Opacity[0.5],Mesh->{{0.}},MeshFunctions->{Function[{x,y,z},y Tan[α]-z+z0]},PlotPoints->60],
7. PlotRange->5,Background->Gray
8. ],
9. {boxed,{True,False}},{{α,Pi/6},0,Pi},{{z0,-1},-3,3}
10. ]

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