北大“2013全国优秀中学生‘百年数学’科学体验营试题

其妙

北大“2013全国优秀中学生‘百年数学’科学体验营试题
blog.sina.com.cn/s/blog_5618e6650101o5bf.html

kuing

第二题不等式：
由 $(x^3+y^2+z)(1+y+z)(1+1+z)\geqslant(x+y+z)^3$ 得到
\[\frac x{x^3+y^2+z}\leqslant\frac{x(1+y+z)(2+z)}{27},\]
于是只要证
\[\sum x(1+y+z)(2+z)\leqslant27,\]
展开为
\[5\sum xy+3xyz+\sum x^2y\leqslant21,\]
显然 $\sum xy\leqslant3$, $xyz\leqslant1$ 且由此贴提到的不等式知 $xyz+\sum x^2y\leqslant4$，故上式显然成立，得证。

其妙

回复 2# kuing
，kk可以去北大了！

kuing

回复 3# 其妙

问题是其他的都不会……

kuing

第一问好像是经典问题，不过我没怎么研究过。

其妙

回复 4# kuing
据说第5题只有韦大神一个人做起了吧，其余都覆没了？

乌贼

回复 6# 其妙

韦大神是谁？

战巡

回复 6# 其妙

这个也不算太难想吧...就是计算烦人

五次方程啊，摆明了没有通解，这个方程必然有特殊之处，比如可以因式分解、配方或代换
因式分解、配方之类的未免太小儿科， 这种测试应该不会出的
还是别往那个方向想了

注意到
\[\cos(5a)=16\cos^5(a)-20\cos^3(a)+5\cos(a)\]
好像跟这个的系数比例差不多
令$f(x)=x^5+10x^3+20x-4$，令$x=2^{\frac{3}{2}}iy$则有：
\[f(x)=128\sqrt{2}iy^5-160\sqrt{2}iy^3+40\sqrt{2}iy-4=0\]
\[16y^5-20y^3+5y=-\frac{i}{2\sqrt{2}}\]
令$y=cos(\theta)$，有
\[\cos(5\theta)=-\frac{i}{2\sqrt{2}}\]
\[\theta=\frac{\arccos(-\frac{i}{2\sqrt{2}})}{5}\]
带回去可得
\[x=2\sqrt{2}i\cos(\frac{\arccos(-\frac{i}{2\sqrt{2}})}{5})\]
之后，得到一个解以后就可以提出来，然后变成四次方程，再用求根公式解出剩下的就好

当然，也可以用类似的办法找其他解
比如代换$x=-2\sqrt{2}iy$，可以得到上面的共轭解$x=-2\sqrt{2}i\cos(\frac{\arccos(\frac{i}{2\sqrt{2}})}{5})$
又比如在里面代换$y=sin(\theta)$(因为$\sin(5a)=16\sin^5(a)-20\sin^3(a)+5\sin(a)$也是成立的)，可以得到
\[x=2\sqrt{2}i\sin(\frac{\arcsin(\frac{i}{2\sqrt{2}})}{5})=2\sqrt{2}\sinh(\frac{\sinh^{-1}(\frac{1}{2\sqrt{2}})}{5})=\sqrt{2}(\sqrt[10]{2}-\frac{1}{\sqrt[10]{2}})\]
这是唯一的那个实根
另外两个随便求吧...都出来3个了...

其妙

回复 8# 战巡
牛笔！和陈计给出的答案是一样的：$x=\sqrt[5]{8}-\sqrt[5]{4}$
战巡版主也可以进北大读博了！与韦大神并列了~

其妙

回复  其妙

韦大神是谁？
乌贼 发表于 2013-11-1 03:01

北大数学体验营最高分88，华南师大附中的，大于等于80分的有8人，全部考试人员平均分35分。最后一题难度很大，几乎很少人做出,有获国际金牌的也没做出来，但韦东奕做出来了...

战巡

回复 10# 其妙


随便啦........
胜败兵家常事，几道题而已...
灵感一到连破难题，状态不好啥都做不出来
所以仅一次考试5道题，方差很大的...

kuing

嗯，玩这种题，灵感太重要了

其妙

某人刚刚做的吧和战版的似乎相同吧

其妙

第二题不等式：由 $(x^3+y^2+z)(1+y+z)(1+1+z)\geqslant(x+y+z)^3$ 得到
$\dfrac x{x^3+y^2+z}\leqslant\dfrac{x(1+y+z)(2+z)}{27}$,

$\sum x(1+y+z)(2+z)\leqslant27$,于是只要证$\sum x(1+y+z)(2+z)\leqslant27$,
展开为$5\sum xy+3xyz+\sum x^2y\leqslant21$,
显然 $∑xy⩽3$ , $xyz⩽1$  且由此贴提到的不等式知 $xyz+∑x^2y⩽4$ ，故上式显然成立，得证。
kuing 发表于 2013-10-31 23:57

严文兰：

kuing

回复 14# 其妙

此不等式较松，随便玩……

其妙

回复 15# kuing
我还是觉得不轻松哦，我是作为资料将各种解法留存，

v6mm131

回复 16# 其妙
韩京俊那本书P83的和这个题类似  都是用的菊部不等式

其妙

回复  其妙
韩京俊那本书P83的和这个题类似  都是用的菊部不等式
v6mm131 发表于 2013-11-6 17:13

菊部,

菊部不等式

回复 18# 其妙 回复 17# v6mm131

其妙

回复 19# 菊部不等式
正在说你，你就到，