一道条件是$xy+yz+zx=1$的不等式

郝酒

$x,y,z\in R^+$,$xy+yz+zx=1$.
证明: $\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{z^2+x^2}+\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\geq 3$
检索了一下，论坛里又没有现成的。

kuing

为了降次，考虑到 0, 1, 1 取等，于是大胆尝试弱化条件。

证明：因为 `x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\leqslant(xy+yz+zx)^2=1`，于是，作换元 `x^2=a` 等后，只需证明：
当 `a`, `b`, `c\geqslant0`, `ab+bc+ca\leqslant1` 时有
\[\frac1{a+b}+\frac1{b+c}+\frac1{c+a}+\frac1{a+b+c}\geqslant3,\]
显然地，若 `ab+bc+ca<1`，则可增大变量使 `ab+bc+ca=1`，而原不等式左边关于变量均递减，由此可见，只需证明 `ab+bc+ca=1` 的情况即可。

此时，令 `p=a+b+c`, `r=abc`，则原不等式整理为
\[\frac{p^2+1}{p-r}+\frac1p\geqslant3.\]

（1）当 `p\geqslant2` 时，有
\[\frac{p^2+1}{p-r}+\frac1p-3\geqslant\frac{p^2+1}p+\frac1p-3=\frac{(p-2)(p-1)}p\geqslant0;\]

（2）当 `p<2` 时，由 \schur 不等式有 `r\geqslant(4p-p^3)/9`，所以
\[\frac{p^2+1}{p-r}+\frac1p-3\geqslant\frac{p^2+1}{p-\frac{4p-p^3}9}+\frac1p-3=\frac{(2-p)(3p^2-4p+7)}{p(p^2+5)}>0.\]

综上所述，原不等式得证。

数学的书蠹

强