`a_n=1+\ln a_{n+1}`，前19项之积

kuing

以前好像见过类似的题，一时没搜到……
码：
已知数列 $\an$ 满足 `a_1=1/2`, `a_n=1+\ln a_{n+1}`, $n\inN^+$，
设 `T_n` 为数列 $\an$ 的前 `n` 项之积，则 `T_{19}\in`
A. `(0,1/20]`    B. `(1/20,1/10]`    C. `(1/10,1/5]`    D. `(1/5,1)`

kuing

呐，这里也有个对数递推：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=4046

facebooker

回复 1# kuing

7月的上虞期末考试题 咋做啊大佬？

kuing

受 2# 链接的启发，用数归证明 `a_n\leqslant n/(n+1)`，且当 `n>1` 时不取等号。

`n=1` 成立，假设 `n=k` 成立，则当 `n=k+1` 时
\[\ln a_{k+1}=a_k-1\leqslant\frac k{k+1}-1=-\frac1{k+1},\]于是只需证
\[-\frac1{k+1}<\ln\frac{k+1}{k+2},\]即
\[\frac1{k+1}>\ln\frac{k+2}{k+1}=\ln\left( 1+\frac1{k+1} \right),\]显然成立，即得证。

由此得到
\[T_{19}<\prod_{k=1}^{19}\frac k{k+1}=\frac1{20},\]所以只有 A。

敬畏数学

好像哪里见过此题，但一时想不起。

facebooker

回复 5# 敬畏数学

2019浙江省上虞高二下学期期末考试题