一道平面几何问题

敬畏数学

三角形ABC中，AB=AC，D为三角形ABC内一点，∠ABD=30°，∠DBC=42°，∠BCD=54°，∠ACD=18°，求∠BAD。

业余的业余

回复 1# 敬畏数学

这题的答案是 $24\du$. 期待巧妙的几何解。

我用正弦定理得到这个方程 $\cfrac {\sin (\alpha+30\du)}{\sin \alpha}=2\sin 84\du$

现在可以确定 $\alpha=24\du$ 是这个方程的解，但不会解这个方程。

两个方向都希望有高手突破，尤其是解这个方程的招数，很感兴趣。

facebooker

2003年日本初中数学竞赛试题 那里肯定有纯几何解法哟

敬畏数学

也是得到一个三角方程，但解不出。看来只有纯几何法是出路！不想费神了。

kuing

按以往的经验，几何法很可能要搞个正三角形来联系起那个 30 度，但想了好久都撸不出来

三角法倒是不怎么需要动脑，设所求角为 `x`，由弦正定理
\[
1=\frac{DB}{DA}\cdot\frac{DC}{DB}\cdot\frac{DA}{DC}
=\frac{\sin x}{\sin30\du}\cdot\frac{\sin42\du}{\sin54\du}\cdot\frac{\sin18\du}{\sin(36\du-x)},
\]即
\[
2\sin x\sin42\du\sin18\du=\sin54\du\sin(36\du-x),
\]积化和差变成
\[
\sin x\left( \cos24\du-\frac12 \right)=\frac{\cos(18\du+x)-\sin x}2,
\]即
\[
2\sin x\cos24\du=\cos(18\du+x)=\sin(72\du-x),
\]左边递增，右边递减，所以如果有解，解必唯一，而恰好 $x=24\du$ 是解，所以这就是结果。

hejoseph

回复 2# 业余的业余
这个方程的解可以猜，首先解必定在 $(0^\circ,36^\circ)$ 内，在这个范围内
\[
\frac{\sin(x+30^\circ)}{\sin x}=\cos 30^\circ\csc x+\sin 30^\circ\cot x
\]
是严格单调减函数，所以方程的解是唯一的。如果有量角器，作一个精确的图就能量出解，然后再证明下就可以了。

hejoseph

这里曾整理过这类格点问题的全解：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=4891

kuing

想来想去，还是用同一法强上吧。

抛开原题，先证明一个结论：

如图，`AEBCF` 是正五边形，`\triangle AED` 是正三角形，则 $\angle ABD=30\du$。

证明：因为 `A`, `D`, `B` 在以 `E` 为圆心的圆上，故 $\angle ABD=\angle AED/2=30\du$。

另外还易知 $\angle BCD=54\du$, $\angle DBC=42\du$，所有数据均与 1# 相符，亦即上图中的 `A`, `B`, `C`, `D` 就是 1# 题目的 `A`, `B`, `C`, `D`，因此所求的 $\angle BAD=\angle EAD-\angle EAB=60\du-36\du=24\du$。

业余的业余

感谢！@kuing @hejoseph

isee

回复 3# facebooker

baijiahao.baidu.com/s?id=1634668725368267491

还真找到了，但不是标答。

乌贼

如图，作正$ \Delta ABM, $再作$ \triangle AMN\cong \triangle AMC ,$分别作正$ \triangle CMQ, $正$ \triangle MNP $。
   
有$ CNPQ $四点共园且$ M $为圆心，得\[ \angle QCP=\dfrac{1}{2}\angle QMP=18\du \riff\angle CAP=\angle ACP=36\du \riff AP=CP \]知点$ D、P $分别在$ AM、AC $的垂直平分线$ ED、FP $上，由对称性（或证两颜色三角形全等）得\[ DC=PM\riff\triangle ACD\cong \triangle AMP \riff \angle DAC=\angle PAM=12\du \]故\[ \angle DAB=24\du  \]

乌贼

回复 10# isee
因看不明白连接故发11楼

kuing

回复 12# 乌贼

你总算来了

敬畏数学

回复 11# 乌贼
学习了。

facebooker

回复 11# 乌贼

你的及时赶到 完美了避免了尴尬

乌贼

还有简单的 ，作正$ \triangle ABE $和等腰梯形$ ABCF $。

有\[ \angle CDF=\angle EFD=84\du \\\angle DCE=\angle FEC=96\du  \]所以$ DCEF $为等腰梯形，故\[ AF=FC=DE=AD \riff \angle DAF=48\du \]得\[ \angle BAD=24\du  \]

乌贼

不同时间不同解法，$ ADBC $为等腰梯形，$ \triangle BCE $为正三角形，同颜色三角形全等

力工

回复 17# 乌贼
和kuing锅一样真神人也！凌晨三点在线！Orz