来自讨论组的过正三角中心直线交两边……

kuing

2019-12-24 v* 10:13:22

求几何法或者向量法

硬用向量法勉强搞了个：

设 $\vv{AB}=3\bm b$, $\vv{AC}=3\bm c$，则 $\abs{\bm b}=\abs{\bm c}=\bm b\cdot\bm c=2$。

令 $\bm b=x\vv{AP}$, $\bm c=y\vv{AQ}$，则 $\vv{AO}=\bm b+\bm c=x\vv{AP}+y\vv{AQ}$，于是由 `O`, `P`, `Q` 三点共线得 `x+y=1`，那么
\[
OP^2=\bigl(\vv{AO}-\vv{AP}\bigr)^2
=\left( \bm b+\bm c-\frac{\bm b}x \right)^2
=\left( \frac{x\bm c-y\bm b}x \right)^2
=\frac{4(x^2-xy+y^2)}{x^2},
\]即
\[OP=\frac2x\sqrt{x^2-xy+y^2}=\frac2x\sqrt{1-3xy},\]同理
\[OQ=\frac2y\sqrt{x^2-xy+y^2}=\frac2y\sqrt{1-3xy},\]令 `t=x/y`，则
\[\frac1{OP}+\frac2{OQ}=\frac{x+2y}{2\sqrt{x^2-xy+y^2}}=\frac{t+2}{2\sqrt{t^2-t+1}}=\frac1{2\sqrt{\frac7{(t+2)^2}-\frac5{t+2}+1}},\]由此易得当 `t=4/5` 时取最大值，此时 `x=4/9`, `y=5/9`，代回 `OP` 的表达式中即得 `OP=\sqrt{21}/2`。

kuing

如果想写得逼格更高一点的话，可以这样：在得到
\[OP^2=\frac{4(x^2-xy+y^2)}{x^2},\,OQ^2=\frac{4(x^2-xy+y^2)}{y^2}\]后，则有
\[\frac1{OP^2}-\frac1{OP\cdot OQ}+\frac1{OQ^2}=\frac14,\]然后配个方，变成
\[3\left( \frac1{OP}+\frac2{OQ} \right)^2+\left( \frac5{OP}-\frac4{OQ} \right)^2=7,\]这样 `1/OP+2/OQ` 取最大值时 `5/OP=4/OQ`，代回去变成 `3\bigl(\frac1{OP}+\frac5{2OP}\bigr)^2=7`，解得 `OP=\sqrt{21}/2`。

kuing

有了，几何方法，过 `O` 作 `AC` 的平行线交 `AB` 于 `D`，如图：

易知 `OD=2`，则
\[OP=\frac{OD}{AQ}\cdot PQ=\frac2{AQ}\cdot PQ,\]同理
\[OQ=\frac2{AP}\cdot PQ,\]这样就同样得到
\[\frac1{OP^2}-\frac1{OP\cdot OQ}+\frac1{OQ^2}=\frac{AQ^2-AP\cdot AQ+AP^2}{4PQ^2}=\frac14,\]然后同楼上。

敬畏数学

余弦定理：$ AP=x,OP=\sqrt{x^2-6x+12}$，同理，$ AQ=y,OP=\sqrt{y^2-6y+12}$，根据面积得：$ 2(x+y)=xy $,代入式子消y,得$ \frac{1}{OP}+\frac{2}{OQ} $的最大值为$\dfrac{\sqrt{21}}{3}$,此时AP=$ \frac{9}{2} $，易得$OP=\frac{\sqrt{21}}{2}$.纯粹运算，没有什么高深的知识。呵呵。