一些平面几何

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1. 调和四边形 证明共线
2.∆ABC的外接圆与A-旁切圆的两条外公切线交BC于X,Y,证明∠BAX=∠CAY
3.${P_B},{P_C},{M_B},{M_C}$为$\triangle$ABC对应边上的高线足和中点,${{\rm{M}}_{\rm{B}}}{M_C},{{\rm{P}}_{\rm{B}}}{P_C}$交于${{\rm{S}}_{\rm{A}}}$,A-外类似中线交BC于${{\rm{T}}_{\rm{A}}}$,证明：AV$ \bot {{\rm{S}}_{\rm{A}}}{T_A}$(V是九点圆圆心)
4.在凸四边形ABCD中,AC,BD交于P,延长BA,CD交于E,延长DA,CB交于F,圆$ω_1$过D且与AC切于P,与AD再次交于X,圆$ω_2$过C且与BD切于P,与BC再次交于Y.设$\omega_1,\omega_2$再次交于Q,证明：P与∆XQY的外心的连线⊥EF.
5.过A任作圆ω交AC,AB于E,F,圆ω'是ω关于$\angle$BAC平分线的对称象,ω交外接圆于T,求证：ω'与AT相切

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6.点D、E、F分别在△ABC的三边BC、CA、AB上，AD、BE、CF交于同一点G, EF、AD相交于H.以DH
为直径作圆交直线BE于S、T两点，求证: |AS - AT|= DH|cos∠BGD| .
法①AHGD调和,Stewart
法②AHGD调和,圆I是AG的阿氏圆,$\triangle ITG\sim\triangle IAT≌\triangle IAJ\sim\triangle IGS$.ASTI共圆
7.见图
8.设P是凸四边形ABCD的对角线交点,若PAB,PBC,PCD,PDA四个三角形内切圆半径相等,求证ABCD是菱形
9.见图
10.见图

6

6'

7

9

10

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回复 1# hbghlyj
将第5题推广到了一般情形，替换了原题。原来这是一道简单题。
△TFE'∽△TBC',$\angle EAF=\angle ETF,AF'\bullet TE=BF\bullet TE=CE\bullet TF=AE'\bullet TF$,△TEF∽△AE'F',$\angle TAF=\angle TEF=\angle AE'F'$,所以AT是$\omega'$的切线

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11.在△ABC中，ω是内切圆，点$O_1$是$A_2A_3$中点，过点A且垂直于BC的直线与过点M且垂直于AI的直线交于K.证明:以AK为直径的圆与圆ω相切,切点在$AX_8$上.（$X_1$是内心，$X_8$是奈格尔点）
证明:(by qzc)设$I_1$为$A_2A_3$上切点，$I_1'$为对径点，$A_1I_1$交$\odot X_1$于T,熟知$O_1T$为$\odot X_1$切线,延长$O_1X_1$交$A_1K$于点U，熟知$O_1X_1$平分$A_1I_1$，又$A_1U\parallel X_1l_1$，故$A_1X_1\parallel Ul_1$,所以$UI_1⊥O_1K$,所以$I_1$是$UO_1K$垂心，$KI_1⊥UO_1$，故$KI_1T$共线，所以T是$\triangle I_1'SI_1$和$\triangle A_1LK$的位似中心，它在$\odot X_1$上，故两圆相切
12.设I、H分别是△ABC的内心和垂心，直线$l_a$过BC的中点且垂直于AI .类似地定义直线$l_b,l_c$,求证:直线$l_a,l_b,l_c$构成的三角形的外心是IH的中点.
13.在△ABC中，AN，IC，BW是角平分线，Q，R，S分别为其中点，以AB，AC，BC分别作圆c[1]，c[2]，c[3]，连接BQ，QC，AR，RB，AS，SC分别交c[2]，c[1]，c[3]，c[2]，c[3]，c[1]于K，M，H，Y，G，Z，六点在BC，AB，AC上的射影分别为J，O，U，T，V，X连接KO，MJ交于F，连接TH ，UY交于D，连接VZ，XG交于E。求证：△ABC的欧拉线与△FED的夹角恒不大于30度。
14.P为完全四边形ABCDEF的密克点，D为对角线AD,BF的交点，PG交$\odot$AFC于H，AHFI是平行四边形 ，求证：$\angle$CIF=$\angle$CDE
15.见图

11

11'

12

当三圆存在一条公切线时,证明:与其中两个圆外切,另一个圆内切的圆经过三圆根心.特别地，若这三个圆是一个三角形的旁切圆，则该虚线圆经过原三角形的Sp.
关于根心反演就行了
AB是圆O直径,PA是切线,PCD是割线,BC,BD交PO于E,F,求证:OE=OF
证明：过A作AH⊥OE,ACEH共圆,∠AEC=∠AHC,$PC·PD=PA^2=PH·PO$,CHOD共圆,∠CHD=∠COD,∠PHC=∠ODC=∠OCD=∠OHD,∠CHA=∠DHA,∠AEC=∠CHA=∠CHD/2=∠COD/2=∠DBE,AE∥BF.又OA=OB,∴AEBF为平行四边形,∴OE=OF
△ABC内接于圆O,H为垂心,AH分别交BC于D,交圆O于E,P在圆O上,∠DPE=90°,Q在圆O上,∠HPQ=90°,M是BC的中点.求证PDMQ共圆
G是重心,取E对径点X,导角得A,X关于BC中垂线对称,∵AX∥MD,AG=2GM,AX=2MD,∴DGX共线.延长PH交圆于Y,∵∠HPQ=90°,∴QOY共线.设AQ,PX交点为G’,由帕斯卡定理有G’OH共线.即G’是OH和AQ的交点,G'=G.故DGXP共线.故AMQ共线,PQ和MD关于∠MGD逆平行.
取XGD与圆O的交点P'.下面证明P'HY共线
∵∠AMD=∠B+∠BAQ=∠XCB+∠BAQ=∠XCB+∠BCQ=∠BP'Q.∠OMA=∠QAE=∠XP'Y,
∠XP'Y+∠BP'Q=∠OMA+∠AMD=90°,∴YHP'共线

19.A,B,C,D在圆O上,B,C处的切线交于L,求证：∠AOD=∠AMD+∠ALD
证明：$OM\cdot OL=OA^2\Rightarrow\angle MLA=\angle OAM$,同理$\angle MLD=\angle ODM,\angle AMD+\angle ALD=\angle MAL+\angle ALD+\angle LDM+\angle OAM+\angle ODM=\angle DOA$

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16.△ABC中，AH, CD为两条高. P在BC上, Q, R在AB, AC上且PQ=PD, PR=PC.求证:ARHQ四点共圆
17.$\triangle$ABC中,AC=BC,$\angle$BAC=70°,D在AC上,AB=BD,E在边BC上,BE=CD,求证:$\angle$BDE=50°
证明：作△CDB外心O，则有∠DOB=2∠C=80°,而∠COD=2∠CBD=60°,故△COD是等边三角形,故BE=CD=OC=OB，又2∠EBO=∠DBO-∠DBC=50°-30°=20°,故∠BOE=80°=∠BOD，也即DEO共线,于是∠BDE=∠BDO=50°
18.见图
20.2011ImoShortlistG6
$\triangle$ABC,AB=AC,D是AC的中点,∠BAC平分线与$\odot$DBC相交于$\triangle$ABC内的点E,直线BD交$\odot$AEB于B,F,直线AF,BE交于I,直线CI,BD交于K,证明I是$\triangle$KAB的内心。
证明:取AB,BC中点H,J,由对称性HE=ED,BI平分$\angle$ABD,$\angle FAE=\angle FBE=\angle ABE,\angle AFD=180°-\angle AFB=180°-\angle AEB=\angle BAJ+\angle ABE=\angle CAJ+\angle FAE=\angle FAC,$AD=DF,$\triangle$ABD$\sim\triangle$KAD,AI平分$\angle BAK$,I是$\triangle$KAB的内心。

16

17

17'

18

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22.

23.


推广：

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26.设P,Q是一对等角共轭点,垂心为H,过H作AP的垂线交BC于T,P关于BC的对称点为P',求证:P'H$\bot$QT
27.28.29.30.见图

26

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29

30

△ABC中，内切圆为$\odot$l,内切圆在各边上的切点与对顶点的连线三线共点于R，$\omega_a,\omega_b,\omega_c$分别是过B、C且与$\odot$I相切的圆，过C、A且与$\odot$I相切的圆，过A、B且与$\odot$I相切的圆，点U、V、Y、Z、W、X分别是$\omega_a$与AB、$\omega_a$与AC、$\omega_b$与BC、$\omega_b$与BA、$\omega_c$与CA、$\omega_c$与CB的交点(均不同于点A、B、C)设点L、M、N分别是直线UV、YZ、WX关于$\odot$I的极点.证明:AL、BM、CN、IR四线共点.

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34.E,F为圆内接四边形ABCD边BC,AD中点,AC,BD交于O,AB,CD交于P,求证：PQ是$\odot QEF$的切线
35.平面上任意P关于$\triangle ABC$的Ceva三角形为DEF,点X关于DEF的等角共轭为Y,$\Gamma$为过ABCP的等轴双曲线,则X关于$\Gamma$的极线过Y.

我们立足于DEF来看，容易看出DEF的四等心均要在这锥线上，于是就转化为了如下命题：三角形ABC的一对等角共轭点P，P*，L是过II1I2I3的一条锥线，证明P关于L的极线过P*，也即要证明PP*被L调和分割，但由A(II2, PP*) =-1，容易看出II1I2I3的任一组对边调和分割PP*，由笛沙格对合定理，其外接锥线也调和分割PP*
36.已知△ABC,△PAB和△QAC是△ABC外面的两个三角形，满足AP=AB, AQ=AC及∠BAP=∠CAQ,线段BQ与CP交于点R.设△BCR的外接圆圆心为O.证明: AO⊥PO.

37.在$\triangle ABC$中,AC=2,BC=4,作等边$\triangle ABD$,则AB+2CD的最小值为
38.△ABC内点D,∠ABD=∠ACD,DE⊥AB,DF⊥AC,点M是BC的中点，P是EF上任意一点，MF与BP交于Q.证明: DP⊥AQ.

39.设O和I分别为△ABC的外心和内心，△ABC的内切圆与边BC,CA, AB分别相切于点D, E,F,直线FD,CA相交于点P，直线ED, AB相交于点Q，点M,N分别为线段PE,QF的中点，求证: OI⊥MN.
根轴
40.已知一条圆锥曲线上的五个点或者更多点，求任意一条直线和这条圆锥曲线的交点（如果存在）
要分清楚两个概念
纽堡曲线上一点可以尺规
纽堡曲线不能尺规
41.
42.设A,B,C为抛物线$\Gamma$上三点，满足△ABC的垂心H与$\Gamma$的焦点重合.证明:无论怎样改变A, B, C在$\Gamma$上的位置，只要△ABC垂心H的位置保持不变，则△ABC的内切圆半径也保持不变.
只需证明H在三角形ABC的内切圆上，再计算HI即可
以H为中心,$-2HA\cdot HH_a$为幂的反演$\psi$将圆(A,AH),(B,BH),(C,CH)分别映射到BC,CA,AB.所以,$l$反演到三角形ABC的内切圆$\omega$,所以,H在$\omega$上(**保外接圆)
剩下余弦定理计算
$HI=\sqrt{2r^2-4R^2\cos A\cos B\cos C}$
43.在锐角△ABC中，AB>AC, M是边BC的中点，P是△AMC内一点，使得∠MAB=∠PAC.设△ABC,ABP,ACP的外心分别是$O,O_1,O_2$.证明:直线AO平分线段$O_1O_2$.(陪位中线 2010年CTST)
44.
45.
46.

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48.
$\triangle ABC$中,点E在AB上,角平分线CD的中垂线GF交$\odot CBE,CAD$于F,G,求证DEFG共圆
证明更一般的情况∠XAY=∠XDY，O是ADE外心，XY过点O


49.在凸四边形ABCD中,AB=CD,角A,B的平分线交于点K，角C,D的平分线交于点L，已知AD, BC不平行，且K≠L.证明:三条线段AD, BC, KL的垂直平分线交于一点.


补一个旋转，证一个外心即得
50.$\odot$(ABC)上取一点L，R,L关于BC对称，D为R的等角共轭(已证明DA=DL)，取点Z使△DZA与△DAC顺相似，W为Z的等角共轭，证明: WARL共圆。

作A关于BC的对称点A'，就有WBA'共线，W在一定直线上
BA平分ZBC，设出BA'和ARC的第二交点，证这就是Z的等角共轭点即可
用等角共轭中的有向角BXC+BX*C=BAC，在C侧对Z和W用一遍，再在B侧对D和R用一遍
第一次用下来会化归为证明180+ADC-ARA'=2ABC第二次用下来就变成ALC和ABC相等了
51.
△ABC垂心为H.在其外接圆上取异于A,B,C的一点P,设M为HP中点.在直线BC,CA,AB上分别取点D,E,F,使得AP∥HD,BP∥HE,CP∥HF.证明:DEFM共线.
题目本身证明就这一张图就够了，我后来想证的是OM和DEF的垂直
53.正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连，L是EH中点，求证LB⊥GK
法①设AE＝a,AG＝a',AD＝c,AB＝c',CH＝b,CK＝b'
有 aa'＝bb'＝cc'＝0, a²＝a'², b²＝b'² ,c²＝c'²,a'b＝ab',a'c'＝-ac,a'c＝ac', bc＝b'c'. b'c＝-bc'﹙*﹚
FH＝-a+c+c'+b,$LB＝\frac{FH}2-b-c＝\frac{-a-c+c'-b}2$,GK＝-a'+c'+c+b'
从﹙*﹚：(-a-c+c'-b)(-a'+c'+c+b')＝……＝0. ∴LB⊥GK
法②用全等的倍长中线做。连接EB,GD,DK,BH.延长BL至J使BL=LG,连接JH。ΔEAB≌ΔEAD，ΔBCH≌ΔDCK（SAS），ΔELB≌ΔHLJ。所以EB=GD,DK=BH. 然后证明ΔJHB≌ΔGDK，最后倒个角就出来了。PS：此题还可证出LB=1/2GK

54.G是中点，求证GJ＝GE
视E，F为点圆用调和证明G在E，F和圆（ABCD）的根轴上。过F作两条切线，取出中点就行

55.证明任何圆外切多边形具有可以形成三角形的三个边
证明：设最长边是BC,与之相邻的边是AB和CD,下面证明AB,BC,CD形成三角形.
设AB,BC,CD上的切点是X,Y,Z,则BC=BY+YC=BX+YD<AB+CD,又因为BC是最长边,所以AB,BC,CD形成三角形.

I是内心,CI再交圆O于$C_0$,P在圆O上,$C_0P=C_0N$,则$△C_0NB\cong △C_0PI$

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52.△ABC内接于圆ω，M是BC的中点，AH⊥BC于H.DE是ω的一条经过M的弦。DE与AH相交于F.$\odot$(AEF)分别与直线AB、AC再交于I和J，过I和K分别作$\odot$(AEF)的切线，两切线相交于K.求证: AE⊥EK.

56.

57.

58.sondat推广：如果ABC，DEF正交中心P，Q且存在AX，BX，CX分别平行于DY，EY，FY，那么PX//QY
59.$I_b$为b所对旁心，D，E，F为三边切点，M是$FI_b$的中点，则$\angle ADI_b＝\angle MCA$

60.I_CD垂直AC，DP平行AI，I_CE垂直BC，EQ平行BI，RS同理，PQ交RS于T，TI_A交BC于K，AI交BC于X，于是BX=CK

61.
都等价于AD过In（外接圆和内切圆的内位似中心）
因为他恒过内位似中心所以只要他们共内切圆就是等角线吗
ln是Ge的等角共轭点
62.
64. 令AK与圆交于P，连LP证相切
65. 等价于要证EAI和EIH相似

66.
AE=AF倒角你会发现FQ是对称的再倒角证个平行就完了
注意到PQEF在以A为圆心的圆上
68.
69.I是内心,AD=AE.求证:BF/CF=BD/CE
70. FD过旁心
BFC是和圆I相切
71.设垂心为H,外心为O,切线三角形为△A'B'C',过D作AC,AB平行线交BE,CF于Q,R,则$\angle CBH=\frac\pi2-C=\angle B'C'O$,同理$\angle BCH=\angle C'B'O,\therefore \triangle BCH\sim\triangle C'B'O,\because \angle CBP=\pi-2C=\angle A'C'B',$同理$\angle BCP=\angle A'B'C',\therefore \triangle PBC\sim\triangle A'C'B',\therefore PBCH\sim A'C'B'O,\because HD\bot BC,OA\bot B'C',\therefore D,A$相似对应,$\because A'B=A'C,\therefore PQ=QR$,过P作AB,AC平行线交BC于$P_1,P_2,\because BC=CF,BF\parallel PP_1\parallel DR,\therefore P_1D=PR,$同理$P_2D=PQ,\therefore P_1D=P_2D,\because \triangle ABC\sim \triangle PP_1P_2,$M,D相似对应,$\therefore PD\parallel AM$

等腰梯形CDFB内接于圆A，C,D处的切线交于E，EF再交圆C于H,BH交CD于I，则I为CD中点

证明：取FH中点G，则C,D,G在以AE为直径的圆上
∵∠CGE+∠CHD=∠CDE+180°-∠DAE=180°
∴∠CGF=∠CHD，同理∠FGD=∠CHD
∵△HCD∽△GCF，∴HD*CF = CD*GF
∵△DHF∽△IDB，∴DH*DB = HF*ID
∴HF*ID = CD*GF
∵△GFD∽△HCD，∴GF*CD = FD*HC
∵△DHF∽△IHC，∴DF*HC = HF*IC
∴HF*IC = GF*CD
∴CD*ID = IC*CD
∴ID=IC L为ts和ab的交点，求证ml垂直ab
你截取BA'=AC然后L是AA'中点顺相似共轭导一导
ms⊥ef，算是ml⊥ab的下一级结论吧

从点O出发三条射线OX,OY,OZ,求证∠XOY,XOZ的平分线、∠YOZ的外平分线三线共面
不妨设OX,OY,OZ相等，XYZ各边中点设为x,y,z，xz平行XZ平行角XOZ外角分线
∠A=∠FOG（O是外心，FG是中点）延长BO，CO与圆交于两点，然后帕斯卡。也可以蝴蝶定理 直角梯形FBCG.F,G满足AF=BF,AG=CG.设D,E为BC边上两点且AD=AE.记H,I满足AH=HD,AI=IE且HDEI为矩形.延长HI交CG于点J,延长EI交FG于点K.求证:FH∥KJ[attach

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继续摞题...
△ABC内心为I ,圆O与边AB、BC相切，圆$O_2$过A、C,且$O_1,O_2$外切于点M。求证:∠AMC的平分线过点I。

设H为AD中点,I为CE中点,O为△ABE外心,作OG⊥CF垂足为G.求证:△BCD~△GIH

过正方形的顶点A的直线交BC、CD于M、N, DM与BN交于点L，BP⊥BN交DM于点P。求证: (1) CL⊥MN: (2)∠MON=∠BPM。



A,B在以EF为直径的圆上,ABC的内心I对BCE的等角共轭为J,求证BFIJ共圆

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O、N分别是△ABC的外心和九点圆心，O'是△ABC外接圆上的任意三点P、Q、R关于△ABC的西姆松线围成的三角形的外心，N是△PQR的九点圆心,求证: ONO'N'是平行四边形

浅蓝△∽深蓝△，故深蓝△的垂心为浅蓝△的外心
△MNP相似于P、Q、R关于△ABC的西姆松线围成的三角形,故H''=O',故NN'O'为△OHH'三边中点
M,N,P为中点,由位似得△MPN的垂心H''为HH'中点

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△ABC中，AD为角平分线，AE为高，过AD中点作一直线，交以AB、AC为直径的圆于X,Y，则∠XAY=∠XEY
证明：

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已知△ABC, H为垂心，D-垂足圆交BC于另一点M，MW⊥EF,DEVF为平行四边形，求证: WV平分AH
解:易知△WEF∽△QBC，因此$\frac{EU}{UF}=\frac{BM}{MC}$，这表明U在圆(BF),(CE)的根轴上，因此V, U, H共线
取D关于△ABC的等角共轭点Q,△EMF垂心P
设DQ, DV中点分别为O,J,则PM=2OJ=QV
因而VQMP为平行四边形，VA,VW,VU,VP为调和线束
由此即知VW过AH的中点

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1.AB为圆O直径,弦CD交B处的切线于P,OP交CA,DA于C',D',求证C'O=D'O

证明：过P作另一条切线,切点为E,由于PB,PE为切线,PCD为割线,所以BCED为调和四边形,故AC,AE,AD,AB为调和线束,AE⊥BE,OP⊥BE,所以AE∥OP,故C'O=D'O

2.$\triangle$ABC中,AB<AC,M是BC中点,BH⊥AM于H.Q在AM的反向延长线上,且AQ=4MH,AC与BQ交于点D.求证:△ADQ的外心在$\odot$BCD上

证明：倍长BH至E并延长交$\odot$BCD于F,则$\overline{AG}=\frac12\overline{AQ}=2\overline{MH}=\overline{CE}$,AGEC为平行四边形,AO=CF
又$\angle AOG=\angle BDC=\angle CFE,\angle AGO=\angle CEF=90^\circ$,$\therefore\triangle AOG\cong \triangle CFE,$ACFQ为平行四边形.又OA=OD,$\therefore$CFOD为等腰梯形,O在$\odot$BCD上.
3.$\angle$ACB=90°,G为ABC的重心,P为射线AG上一点,$\angle CPA=\angle CAB$,Q为射线BG上一点,$\angle CQB=\angle ABC$,证明：$\odot AQG,\odot BPG$的另一个交点在AB上.
作CD$\bot AB$于D,$\because CG$为中线,$\angle ACB=90^\circ,\therefore\angle BCG=\angle ABC=\angle CQB,\therefore\triangle BCG\sim\triangle BQC,\therefore AB·BD=BC^2=BG·BQ,\therefore AQGD$共圆.
$\because \angle CPA=\angle CAB=\angle ACG,\therefore \triangle ACP\sim\triangle AGC,AD·AB=AC^2=AP·AG,\therefore BGPD$共圆.故D为$\odot$AQG与$\odot$BGP的交点.

4.$\triangle ABC$中,O为内心,I为外心,AI交BC于D,AI再交外接圆于E,IF$\bot$BC于F,$\angle OFE=90^\circ$,证明:$\triangle ODF$外心O'在OI上.

5.$\triangle ABC$中,若$\angle BAC>90\degree$,作D使得A为BCD的内心;若$\angle BAC<90^\circ$,作D使得A

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1.$\triangle ABC$的内切圆$\odot$I分别与BC,CA,AB切于D,E,F,取$\triangle BIC$的垂心H,FH与DE交于S,EH与DF交于T.证明HA平分ST.

过E作$EK\parallel HC$交BC于K,则$\frac{TH}{HE}=\frac{DC}{CK}=\frac{EC}{CK}=\frac{\sin\angle EKC}{\sin\angle CEK}=\frac{\sin\angle BCH}{\sin\angle HCA}$
同理$\frac{FH}{HS}=\frac{\sin\angle ABH}{\sin\angle HBC}$
又对$\angle ABC$及点H用角元塞瓦定理得$\frac{\sin \angle B C H}{\sin \angle H C A} \cdot \frac{\sin \angle C A H}{\sin \angle H A B}, \frac{\sin \angle A B H}{\sin \angle H B C}=1$于是$\frac{S_{\triangle A T H}}{S_{\triangle A S H}} =\frac{S_{\triangle A T H}}{S_{\triangle A E H}} \cdot \frac{S_{\triangle A E H}}{S_{\triangle A F H}} \cdot \frac{S_{\triangle A P H}}{S_{\triangle A S H}}=\frac{T H}{H E} \cdot \frac{\sin \angle E A H}{\sin \angle F A H} \cdot \frac{P H}{H S} =\frac{\sin \angle B C H}{\sin \angle H C A} \cdot \frac{\sin \angle C A H}{\sin \angle H A B} \cdot \frac{\sin \angle A B H}{\sin \angle H B C}=1$
2.P关于其塞瓦三角形的三边的对称点为Q,R,S,求证AQ,BR,CS共点
2000调和专题例2.3

3.四边形ABCD内接于圆$\Omega$，E,F分别在BD, CA上，且满足EF$\parallel$BC,过B关于$\Omega$的切线交CE于P，过C关于$\Omega$的切线交BF于Q,求证:∠PAB=∠QDC

A(P,E,B,C)=B(P,D,A,C)=C(Q,A,D,B)=D(Q,F,C,B),而且AEFD共圆,∠BAE=∠CDF,∠CAE=∠BDF,即可得证
B(B,D,A,C)=C(B,D,A,C)=C(C,A,D,B)