来自讨论组：2020浙江——两集合互生

kuing

  生如夏花(2365*****)  12:20:41

这题一直搞不明白

教学乡长(2654******)  12:21:42
太难了
好像也没看到简单的做法

  生如夏花(2365*****)  12:22:22
无法直观思考。。。
如果没有简单方法，也就没意义了，我就无视这题了[捂脸]

的确不太容易推理……

以下变量如无特别说明均指正整数。

首先举例排除 C、D，设 `k>1`，则 `S=\{k,k^2,k^3\}` 且 `T=\{k^3,k^4,k^5,k^6\}` 满足题意，此时 `S\cup T` 有 6 个元素。

当 `S` 有 4 个元素时，设 `S=\{a,b,c,d\}` 其中 `1\leqslant a<b<c<d`，
则 `ac`, `bc\in T`，于是 `b/a\in S`，因此 `a\mid b`，同理可证 `b\mid c`, `c\mid d`，
所以可设 `S=\{a,xa,xya,xyza\}`，其中 `x`, `y`, `z>1`，
则 `xa^2`, `xya^2`, `x^2ya^2`, `x^2yza^2`, `x^2y^2za^2\in T`，
由此可得 `x`, `xy`, `xyz`, `xy^2z\in S`，这四个数互不相等且由小到大，
于是只能 `(a,xa,xya,xyza)=(x,xy,xyz,xy^2z)`，
得到 `x=y=z=a`，即 `S=\{a,a^2,a^3,a^4\}`，那么 `a^3`, `a^4`, `a^5`, `a^6`, `a^7\in T`，
下面证明 `T=\{a^3,a^4,a^5,a^6,a^7\}`，假设还有另一个元素 `t\in T`，
若 `t<a^3`，则 `a^7/t>a^4`，故 `a^7/t` 不在 `S` 中，同理若 `t>a^7` 也一样，
若 `a^3<t<a^4`，则 `1<t/a^3<a`，故 `t/a^3` 不在 `S` 中，同理若 `a^4<t<a^5` 等也一样，
所有情况都不能满足，这样就证明了 `T=\{a^3,a^4,a^5,a^6,a^7\}`，
所以 `S\cup T=\{a,a^2,\ldots,a^7\}` 有 7 个元素。

kuing

扩展一下，假如 `S` 是 5 个元素，同样道理：
先有 `S=\{a,xa,xya,xyza,xyzwa\}`, `x`, `y`, `z`, `w>1`，
于是 `xa^2`, `xya^2`, `x^2ya^2`, `x^2yza^2`, `x^2yzwa^2`, `x^2y^2zwa^2\in T`，
得到 `x`, `xy`, `xyz`, `xyzw`, `xy^2zw\in S`，互不相等由小到大，
只能 `(a,xa,xya,xyza,xyzwa)=(x,xy,xyz,xyzw,xy^2zw)`，
得到 `x=y=z=w=a`，即 `S=\{a,a^2,a^3,a^4,a^5\}`，
那么 `a^3`, `a^9\in T`，然而 `a^6` 不在 `S` 中，矛盾！
所以不存在 5 个元素的 `S`。

于是如无意外的话，大于 5 个元素且有限的 `S` 也是不存在的，但无限个是可以的。

而 3 个元素的情况其实也可以全部分析出来，具体就不想再码了，只给结果：
`S=\{1,k,k^2\}` 且 `T=\{k,k^2,k^3\}`；
`S=\{k,k^2,k^3\}` 且 `T=\{k^3,k^4,k^5\}` 或 `\{k^2,k^3,k^4,k^5\}` 或 `\{k^3,k^4,k^5,k^6\}`。

isee

论坛里这题我当时没选，选的第9题，因为第一眼没读懂~

色k

回复 3# isee

现在呢？~

isee

回复 4# 色k

被无视了(准确说是再次路过~)，这题就是扣5分的题

kuing

回复 5# isee