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本帖最后由 hbghlyj 于 2021-5-31 18:40 编辑 大体上已经做出,只是舍根上有点问题
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给定正数a,△ABC内接于圆O,BC平行于x轴,AB=AC,椭圆$\frac{x^2}{a^2}+y^2=1$与△ABC的边AB,BC,CA分别相切于P,Q,R,设P的横坐标为$x_P$,若$x_P$>0,求$x_P$.
我的思路:
切线方程为$\frac{x_Px}{a^2}+y_Py=1$,易得$y_A=\frac{b^2}{y_P},x_B=\frac{a^2 (b+y_P)}{b ⋅x_P}$,由$x_B^2+1=y_A^2$和$\frac{x_P^2}{a^2}+y_P^2=1$消去$y_P$得\[\left(-a^2 x^2+a^4+2 a^3-2 a x^2-x^2\right) \left(-a^2 x^2+a^4-2 a^3+2 a x^2-x^2\right)=0\]其中$x=x_P$,舍去负根得$x_P=x_1=\frac{a\sqrt{a^2+2 a}}{a+1}$或$x_P=x_2=\frac{a\sqrt{a^2-2 a}}{a-1}$
当0<a<2时$x_2$不存在.所以只有$x_P=x_1$
当a=2时$\frac{4\sqrt{2}}{3},x_2=0$,舍去$x_2$
当a>2时,但我画图验证发现只有$x_P=x_1$满足要求,$x_2$是不符合要求的,如何说明$x_2$不符合要求呢 |
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