关于圆内接四边形的三条对角线

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摘要
如果给定非退化的圆内接四边形的边长，但未指定边的顺序，那么在所得的三个圆内接四边形中会出现三个对角线长度，就像三对互补的内角（见“引言”中的说明）一样，以及对角线在这三个图形中的每一种都相交。我们获得了三对角线之和减去四边之和的公式，这使我们可以推断出边长之和小于三对角线之和的不等式。当这些长度被其平方代替时，我们获得另一个公式，这产生了类似的不等式。给出了使用代数几何的两个公式的证明，通过退化情况的分析进行了证明。另外的两个证明提供了不等式的线性形式的（这意味着二次形式），分别使用三角函数和拉格朗日乘子。这些结果的一个不寻常的特征是同时涉及三种可能的图

引言
给定非退化的圆内接四边形的边长a，b，c和d。如果未指定边的顺序，则通常会出现三个两两不全等的圆内接四边形。在退化的情况下，例如当a=b时，我们不会得到三个全等的圆内接四边形，在这种情况下，图中可能会出现各种巧合现象。我们将在讨论中避免使用“一般”一词，而是认为它是可以从上下文来理解的。由于连续性，我们讨论的方程和不等式在退化的情况下仍然成立。

FIG. 1. 具有给定边长的三个可能的圆内接四边形，其中相同颜色的线段相等。

这三个圆内接四边形有共同的外接圆半径R和共同面积Δ。在每个四边形中，三对互补的内角是指:两对互补的内对角以及对角线交点处的补角，但是在这三个图中，由对角线的夹角会有所不同。

定理
假设非退化的圆内接四边形边长为a,b,c和d，并且其对角线的可能长度为p,q和r中的两个。用t表示出现在每个图中的所有"顶点到顶点距离"的和a+b+c+d+p+q+r,则$$ (p+q+r)-(a+b+c+d)=\frac{a b c d}{R^{2} t} $$推论
(a)对于非退化的圆内接四边形a+b+c+d<p+q+r.取等条件是两种类型的极限:当边接近0时,以及当边接近非零极限但外圆半径趋于无穷大时（因此四边形退化为线段）。
(b)在第一个证明的过程中，我们证明了$ \left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)=\frac{a b c d}{R^{2}} $,所以$p^2+q^2+r^2>a^2+b^2+c^2+d^2$
注意,推论(b)等价于定理。
我们提醒读者注意托勒密定理，该定理指出圆内接四边形中两对角线长度之积是其对边长度的乘积之和。一个不太为人所知的结果是如图1[1]所示的三个圆内接四边形中的任何一个的面积为$\frac{pqr}{4R}$
这是因为，将一个四边形的一条边的两个端点和圆心构成一个小三角形并将其面积表示为小三角形之和，并使用“1/2 ab sinC”表示每个小三角形的面积，其中所讨论的角度是对角线相交的角度。将它们放在一起可获得公式1/2 pq sinX。现在来看其余两个图之一，现在四边形的一个内角是X，用正弦定理即可消去sinX。