四边形中的余弦定理

isee

源自知乎提问




题：在四边形 $ABCD$ 中四边长分别为 $a,b,c,d$，两对角线分别长为 $e,f$，如图 1 所示.

求证： $(ef)^2=(ac)^2+(bd)^2-2abcd\cos(ABC+ADC)$.

图 1

证：

记 $a=ke$，如图 1 所示，作 $\angle BAE=\angle CAD$ 并截 $AE=kd$ 则有 $\triangle ABE\sim\triangle ACD$ 从而 $BE=kc$.

另一方面 $\angle BAC=\angle BAE+\angle CAE=\angle CAD+\angle CAE=\angle EAD$且 $AB=k e,$ $AE=kd$ 即有 $\triangle BAC\sim\triangle EAD$ 从而 $\frac a{kd}=\frac b{ED}$， $ED=\frac {kbd}a$.

由这两组相似三角形知 $\angle BED=360^\circ-(\angle AEB+\angle DEA)=360^\circ-(\angle ABC+\angle ADC)$.

于是在 $\triangle EBD $ 中有余弦定理得

$f^2=(kc)^2+\left(\frac {kbd}a\right)^2-2 kc\cdot \frac {kbd}a\cos BED$，将 $k=\frac ae$，$\angle BED=360^\circ-(\angle ABC+\angle ADC)$ 代入去分母整理即为

$(ef)^2=(ac)^2+(bd)^2-2abcd\cos(ABC+ADC)$ 此式有时亦称广义托勒密定理.

kuing

此式有时亦称广义托勒密定理

emmm...既然提到了托勒密，那不妨试试托勒密不等式的复数证法。

$\newcommand\Re{\operatorname{Re}}$
注意到恒等式
\[(z_1-z_3)(z_2-z_4)=(z_1-z_2)(z_3-z_4)+(z_1-z_4)(z_2-z_3),\]
为方便码代码，记 `a=z_1-z_2`, `b=z_2-z_3`, `c=z_3-z_4`, `d=z_1-z_4`, `e=z_1-z_3`, `f=z_2-z_4`（注意这里是表示复数，不是楼主命题里的长度，长度得加模），则上式就是
\[ef=ac+bd,\]
于是
\begin{align*}
\abs{ef}^2&=ef\cdot\overline{ef} \\
&=(ac+bd)(\overline{ac}+\overline{bd})\\
&=\abs{ac}^2+\abs{bd}^2+ac\overline{bd}+\overline{ac}bd\\
&=\abs{ac}^2+\abs{bd}^2+2\Re(ac\overline{bd})\\
&=\abs{ac}^2+\abs{bd}^2+2\abs{abcd}\cos(\arg a+\arg c-\arg b-\arg d),
\end{align*}
（这里 `\Re` 表示实部，`\arg` 表示辐角主值）
记 `z_1` 至 `z_4` 对应点 `ABCD`，该如何说明 `\cos(\arg a+\arg c-\arg b-\arg d)=\cos(\angle ABC+\angle ADC)` 好呢？
画图好像得分情况讨论？
如果按楼主的图，则 `\arg a-\arg b=\angle ABC`, `\arg c-\arg d=\angle ADC-\pi`。
如果字母顺序反过来，就不太一样了，虽然无非是变负号或加减 `\pi` 什么的，不影响 `\cos` 的值，但不知怎么说明比较清楚……
哦还有，如果是凹四边形，那个角也得是内角，就是可以大于 `180\du` 的那种……

isee

kuing 发表于 2022-5-26 22:33
emmm...既然提到了托勒密，那不妨试试托勒密不等式的复数证法。

$\newcommand\Re{\operatorname{Re}}$

复数就变成一恒等式了，其实，复数的威力~

hbghlyj

$$2\vec p·\vec q=a^2-b^2+c^2-d^2$$
百度百科把它叫做“四边形余弦定理”, 当$d=0$时退化为余弦定理. 是否和1楼有联系呢
见Bretschneider's Formula
可以推广到$n$边形, 见Extending the Law of Cosines