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本帖最后由 hbghlyj 于 2025-1-22 09:01 编辑
自然数幂和通项公式证明的新方法 车茂林 彭杰 张莉.pdf
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Abstract：
针对自然数幂和问题, 利用多项式和矩阵理论,
得到了一种计算自然数幂和通项公式的方法,
给出了该方法的具体推导过程.此方法的优点是将自然数幂和问题转换为了线性方程组求解问题,
更浅显易懂.
0 引言
自然数幂和的探究是一个历史悠久的古老的数学问题.自从古希腊数学家阿基米德研究以来,
一直是许多中外数学家、学者研究的热点,
并得到了许多有益的结果.Boyer[1]借助于帕斯卡矩阵得到了自然数幂和的通项公式,
并且给出了通项公式中各系数之间的关系;Guo等[2]
.建立了关于自然数幂和的递推算法;Macdonald[3]讨论了对称多项式,
并且给出了自然数幂和与对称多项式之间的联系; Yang[4]
给出了自然数幂和的通项公式以及系数与伯努利数之间的关系.著名数学家陈景润等[5]对自然数幂和进行了大量的研究,
得到了前30个幂和公式.马建荣等[6]运用了定积分给出xm的求和多项式,
研究了该多项式的性质, 得到自然数幂和的定积分算法;杨志强[7]通过逐差法,
并利用函数xm的牛顿插值公式和组合恒等式得到了自然数幂和的部分和公式;汪晓勤等[8]使用杨辉三角
(帕斯卡三角) , 通过不完全归纳得到自然数幂和通项公式;李卫高等[9]利用阿贝尔变换[10],
建立一个降幂公式, 达到了使高次幂求和转化为低次幂求和的目的,
得到了自然数幂和的递归算法.本文利用多项式根与系数的关系,
将自然数幂和问题转换为线性方程组求解问题;利用线性方程组根的存在唯一性,
建立了关于自然数幂和通项公式的另一种计算方法.
1
主要引理及推论
引理1.1[11]
设k∈N+, 则序列{n
(n+1) (n+2) … (n+k)
}的前n项和为
${\sum\limits_{i = 1}^{n}i}(i + 1)\cdots(i
+ k) = \frac{n(n + 1)\cdots(n + k + 1)}{k + 2}$. (1)
引理1.2[12]
设f (x)
=xn+a1xn-1+…+an-1x+an,
在复数域ℂ上有n个根αi
(i=1, 2, …, n) ,
那么ai与αi之间有如下的关系式
$\left. \begin{array}{l}
{\ a{}_{1} = - (\alpha{}_{1} + \alpha{}_{2} + \cdots + \alpha{}_{n}),}
\\
{a{}_{2} = (\alpha{}_{1}\alpha{}_{2} + \alpha{}_{1}\alpha{}_{3} + \cdots
+ \alpha{}_{n - 1}\alpha{}_{n}),} \\
{a{}_{3} = - (\alpha{}_{1}\alpha{}_{2}\alpha{}_{3} +
\alpha{}_{1}\alpha{}_{2}\alpha{}_{4} + \cdots + \alpha{}_{n -
2}\alpha{}_{n - 1}\alpha{}_{n}),} \\
{\quad \vdots} \\
{a{}_{n - 1} = ( - 1){}^{n -
1}(\alpha{}_{1}\alpha{}_{2}\cdots\alpha{}_{n - 1} +
\alpha{}_{2}\alpha{}_{3}\cdots\alpha{}_{n}),} \\
{a{}_{n} = ( - 1){}^{n}\alpha{}_{1}\alpha{}_{2}\cdots\alpha{}_{n -
1}\alpha{}_{n}.}
\end{array} \right\}\ \ {\quad\quad\quad}(2)$
推论1.1
若令βi=-αi,
则由 (2)
可以得到ai与βi之间的关系式
$\left. \begin{array}{l}
{\ a{}_{1} = (\beta{}_{1} + \beta{}_{2} + \cdots + \beta{}_{n}),} \\
{a{}_{2} = (\beta{}_{1}\beta{}_{2} + \beta{}_{1}\beta{}_{3} + \cdots +
\beta{}_{n - 1}\beta{}_{n}),} \\
{a{}_{3} = (\beta{}_{1}\beta{}_{2}\beta{}_{3} +
\beta{}_{1}\beta{}_{2}\beta{}_{4} + \cdots + \beta{}_{n - 2}\beta{}_{n -
1}\beta{}_{n}),} \\
{\quad \vdots} \\
{a{}_{n - 1} = (\beta{}_{1}\beta{}_{2}\cdots\beta{}_{n - 1} + \cdots +
\beta{}_{2}\beta{}_{3}\cdots\beta{}_{n}),} \\
{a{}_{n} = \beta{}_{1}\beta{}_{2}\cdots\beta{}_{n - 1}\beta{}_{n}.}
\end{array} \right\}\ \ {\quad\quad\quad}(3)$
2
主要结论
引理2.1 设g (x) =x
(x+1) … (x+k-1) =ak,
kxk+ak,
k-1xk-1+…+ak,
1x+ak, 0, 则有
$\left. \begin{array}{l}
{\ a{}_{k,k - 1} = 0 + 1 + 2 + \cdots + (k - 1),} \\
{a{}_{k,k - 2} = 1 \times 2 + 1 \times 3 + \cdots + (k - 2)(k - 1),} \\
{\quad\quad \vdots} \\
{a{}_{k,1} = 1 \times 2 \times \cdots \times (k - 1).}
\end{array} \right\}\ \ {\quad\quad\quad}(4)$
$\left. \begin{array}{l}
{\ a{}_{m,m - 1} = 0 + 1 + 2 + \cdots + (m - 1),} \\
{a{}_{m,m - 2} = 1 \times 2 + 1 \times 3 + \cdots + (m - 2)(m - 1),} \\
{\quad\quad \vdots} \\
{a{}_{m,1} = 1 \times 2 \times \cdots \times (m - 1).}
\end{array} \right\}$
g (x) =x (x+1) …
(x+m-1) (x+m) =
(am,
mxm+am,
m-1xm-1+…+am,
1x+
am,
mxm+1+
(am,
m-1+am,
mm) xm+…+
(am, 0+
在上述等式中, am+1,
m+1=am, m,
am+1, 0=am, 0,
am+1,
j+1=am,
j+am, j+1m
(j=0, 1, …, m-1) .
1) am+1, m+1=1,
am+1, 0=0;
$\left. \begin{array}{l}
{\ a{}_{m + 1,m} = 0 + 1 + 2 + \cdots + m,} \\
{a{}_{m + 1,m - 1} = 1 \times 2 + 1 \times 3 + \cdots + (m - 1)m,} \\
{\quad\quad\quad \vdots} \\
{a{}_{m + 1,1} = 1 \times 2 \times \cdots \times (m - 1) \times m.}
\end{array} \right\}$
$X = \left( {{\sum\limits_{i =
1}^{n}i},{\sum\limits_{i = 1}^{n}i}{}^{2},\cdots,{\sum\limits_{i =
1}^{n}i}{}^{k}} \right){}^{\text{Τ}},$
G=${\sum\limits_{i =
1}^{n}{\prod\limits_{j = 0}^{1 - 1}(}}i + j),{\sum\limits_{i =
1}^{n}{\prod\limits_{j = 0}^{2 - 1}(}}i + j),\cdots,{\sum\limits_{i =
1}^{n}{\prod\limits_{j = 0}^{k - 1}(}}i + j)$T,
$\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
{a{}_{11}} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
{a{}_{21}} & {a{}_{22}} & 0 & \cdots & 0 \\
{a{}_{31}} & {a{}_{32}} & {a{}_{33}} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{a{}_{k1}} & {a{}_{k2}} & {a{}_{k3}} & \cdots &
{a{}_{kk}}
\end{pmatrix}.$
若dimA=k,
则设A-1=B,
由引理1.1, 得
$\begin{array}{l}
{C = \left( {\frac{{\prod\limits_{j = 0}^{1}(}n +
j)}{2},\frac{{\prod\limits_{j = 0}^{2}(}n +
j)}{3},\frac{{\prod\limits_{j = 0}^{3}(}n +
j)}{4},\cdots,\frac{{\prod\limits_{j = 0}^{k}(}n + j)}{k + 1}}
\right){}^{\text{Τ}},} \\
{\mathbf{B} = \left( \begin{array}{lllll}
{b{}_{11}} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
{b{}_{21}} & {b{}_{22}} & 0 & \cdots & 0 \\
{b{}_{31}} & {b{}_{32}} & {b{}_{33}} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{b{}_{k1}} & {b{}_{k2}} & {b{}_{k3}} & \cdots &
{b{}_{kk}}
\end{array} \right).}
\end{array}$
证明
对于任意k∈N+, 设m=1, 2, …,
k在引理2.1中, 令x=i (i=1, 2, …,
n) , 求得g (i) 的值如下.
$\left. \begin{matrix}
{g(1) = a{}_{m,m}1{}^{m} + a{}_{m,m - 1}1{}^{m - 1} + \cdots +
a{}_{m,1}1 + a{}_{m,0},} \\
{g(2) = a{}_{m,m}2{}^{m} + a{}_{m,m - 1}2{}^{m - 1} + \cdots +
a{}_{m,1}2 + a{}_{m,0},} \\
{g(3) = a{}_{m,m}3{}^{m} + a{}_{m,m - 1}3{}^{m - 1} + \cdots +
a{}_{m,1}3 + a{}_{m,0},} \\
\vdots \\
{g(n) = a{}_{m,m}n{}^{m} + a{}_{m,m - 1}n{}^{m - 1} + \cdots +
a{}_{m,1}n + a{}_{m,0}.}
\end{matrix} \right\}\ \ {\quad\quad\quad}(5)$
将方程组 (5) 中的$n$个方程求和得
$$
{{\sum\limits_{i = 1}^{n}i}(i + 1)\cdots(i + m - 1) =} \\
{a{}_{m,m}{\sum\limits_{i = 1}^{n}i}{}^{m} + a{}_{m,m -
1}{\sum\limits_{i = 1}^{n}i}{}^{m - 1} + \cdots +
a{}_{m,1}{\sum\limits_{i = 1}^{n}i}.\ \ }
\tag6$$
在方程组 (6) 中令m=1, 2, …, k,
可以得到如下方程.
$\begin{pmatrix}
{{\sum\limits_{i = 1}^{n}{\prod\limits_{j = 0}^{1 - 1}(}}i + j)} \\
{{\sum\limits_{i = 1}^{n}{\prod\limits_{j = 0}^{2 - 1}(}}i + j)} \\
{{\sum\limits_{i = 1}^{n}{\prod\limits_{j = 0}^{3 - 1}(}}i + j)} \\
\vdots \\
{{\sum\limits_{i = 1}^{n}{\prod\limits_{j = 0}^{k - 1}(}}i + j)}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
{a{}_{11}} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
{a{}_{21}} & {a{}_{22}} & 0 & \cdots & 0 \\
{a{}_{31}} & {a{}_{32}} & {a{}_{33}} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{a{}_{k1}} & {a{}_{k2}} & {a{}_{k3}} & \cdots &
{a{}_{kk}}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
{\sum\limits_{i = 1}^{n}i} \\
{{\sum\limits_{i = 1}^{n}i}{}^{2}} \\
{{\sum\limits_{i = 1}^{n}i}{}^{3}} \\
\vdots \\
{{\sum\limits_{i = 1}^{n}i}{}^{k}}
\end{pmatrix}$
$X = \left( {{\sum\limits_{i =
1}^{n}i},{\sum\limits_{i = 1}^{n}i}{}^{2},\cdots,{\sum\limits_{i =
1}^{n}i}{}^{k}} \right){}^{\text{Τ}},$
G=${\sum\limits_{i =
1}^{n}{\prod\limits_{j = 0}^{1 - 1}(}}i + j),{\sum\limits_{i =
1}^{n}{\prod\limits_{j = 0}^{2 - 1}(}}i + j),\cdots,{\sum\limits_{i =
1}^{n}{\prod\limits_{j = 0}^{k - 1}(}}i + j)$T,
$\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
{a{}_{11}} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
{a{}_{21}} & {a{}_{22}} & 0 & \cdots & 0 \\
{a{}_{31}} & {a{}_{32}} & {a{}_{33}} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{a{}_{k1}} & {a{}_{k2}} & {a{}_{k3}} & \cdots &
{a{}_{kk}}
\end{pmatrix},$
而由引理2.1可知, amm=1 (m=1, 2,
…, k) , 则det (A) =1>0, 故dimA=k,
且A可逆, 从而方程 (8) 有唯一解.
${\sum\limits_{i = 1}^{n}{\prod\limits_{j =
0}^{m - 1}(}}i + j) = \frac{{\prod\limits_{j = 0}^{m}(}n + j)}{m + 1}(m
= 1,2,\cdots,k),$
定理2.2 在定理2.1成立的条件下,
对于任意k∈N+, 有下列式子成立.
$$
{{\sum\limits_{i = 1}^{n}i}{}^{k} = b{}_{k1}\frac{{\prod\limits_{j =
0}^{1}(}n + j)}{2} + b{}_{k2}\frac{{\prod\limits_{j = 0}^{2}(}n + j)}{3}
+}
{b{}_{k3}\frac{{\prod\limits_{j = 0}^{3}(}n + j)}{4} + \cdots +
b{}_{kk}\frac{{\prod\limits_{j = 0}^{k}(}n + j)}{k + 1}.}
$$
$$
{{\sum\limits_{i = 1}^{n}i}{}^{k} = b{}_{k1}\frac{{\prod\limits_{j =
0}^{1}(}n + j)}{2} + b{}_{k2}\frac{{\prod\limits_{j = 0}^{2}(}n + j)}{3}
+}
{b{}_{k3}\frac{{\prod\limits_{j = 0}^{3}(}n + j)}{4} + \cdots +
b{}_{kk}\frac{{\prod\limits_{j = 0}^{k}(}n + j)}{k + 1}.}
$$
本文通过利用多项式根与系数的关系,
将自然数幂和问题转化为线性方程组的求解问题, 更浅显易懂.
References
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Boyer C B.Pascal's formula for the sums of powers ofthe
integers[J].Scripta Mathematical, 1943, 9:237-244.n
[2]
Guo S L, Qi F.Recursion Formula for∑k=1mk[J].ZAnal Anwendungen, 1999,
18:1123-1130.
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Macdonald I G.Symmetric functions and hallpolynomials (second edition)
[M].Oxford:ClarendonPress, 1995.
[4]
杨必成.联系Bernouli为自然数同次幂和的公式[J].数学的实践与认识, 1994, 24
(4) :52-56..
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陈景润, 黎鉴愚.在Sk (n) 上的新结论[J].科学通报:英文版, 1986, 31 (6)
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[6]
马建荣, 刘三阳, 刘红卫.自然数幂和的定积分算法[J].高等数学研究, 2009, 12
(6) :33-36.
[7]
杨志强.用逐差法求解自然数方幂之和[J].数学实践与认识, 2003, 33 (11)
:136-137.
[8]
汪晓勤, 周崇林.自然数幂和的矩阵算法[J].高等数学研究, 2004, 7 (2)
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华东师范大学数学系.数学分析[M].3版.北京:高等教育出版社, 2001.
[11] Richard Courant.Fritz
john.Introduction to calculusand analysis[M].北京:世界图书出版社,
2008.
[12] 张禾瑞,
郝镔新.高等代数[M].5版.北京:高等代数教育出版社, 2007.
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