$\cotπz$在所有顶点为$(N+1/2)(±1±i)$的正方形的并集有界

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complex.pdf page 72 Lemma 11.13.
设$f(z)=\cotπz$, 正整数$N$, 路径$\Gamma_N$是顶点为$(N + 1/2)(±1 ± i)$的正方形. There is a constant $C$ independent of $N$ such that $\abs{f (z)} ≤ C$ for all $z ∈ \Gamma^∗_N$.

Proof.
我们需要分别考虑正方形的横向边和纵向边。注意到$\cot (\pi z)=i\left(e^{i \pi z}+e^{-i \pi z}\right) /\left(e^{i \pi z}-e^{-i \pi z}\right)$。
在两条横向线段 $z = x ± (N + 1/2)i,\,−(N + 1/2) ≤ x ≤(N + 1/2)$ 上，我们有\begin{aligned}\abs{\cot (\pi z)} &=\abs{\frac{e^{i \pi(x \pm(N+1 / 2) i)}+e^{-i \pi(x \pm(N+1 / 2) i)}}{e^{i \pi(x \pm(N+1 / 2) i)}-e^{-i \pi(x \pm(N+1 / 2) i)}}} \\ & \leq \frac{e^{\pi(N+1 / 2)}+e^{-\pi(N+1 / 2)}}{e^{\pi(N+1 / 2)}-e^{-\pi(N+1 / 2)}} \\ &=\operatorname{coth}(\pi(N+1 / 2)) \end{aligned}由于 $\coth(x)\,,x ≥ 0$ 是减函数，因此在 $\Gamma_N$ 的横向边上我们有$\abs{\cot(πz)} ≤ \coth(3π/2)$。
在两条纵向线段 $z=\pm(N+1 / 2)+i y,\,-N-1 / 2 \leq y \leq N+1 / 2$ 上，注意到 $\cot(πz)=\cot(π(\pm(N+1 / 2)+i y))=-\tan(iπy)$，我们有
\[
\abs{\cot (\pi z)}=\abs{-\tan (iπy)}=\abs{-\tanh(πy)} \leq 1 \text {. }
\]
综上所述 $C=\max \{1, \operatorname{coth}(3 \pi / 2)\}$ 是满足要求的常数.    $\square$

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我觉得划线处应该是$\tan(i\pi y)$而不是$\tan(iy)$呢?
$$z=\pm(N+1 / 2)+i y\implies πz=\pm(N+1 / 2)π+iπy$$

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红色点(整数)是$\cotπz$的极点.
$\cotπz$在所有绿色正方形的并集$\bigcup_{N=1}^∞\Gamma_N$上有界.

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\[\abs{\cot(x+yi)}=\sqrt{\frac{2}{\sec (2 x) \cosh (2 y)-1}+1}\]
画出$\abs{\cot(x+iy)}$

1. Plot3D[Abs[Cot[x+I y]],{x,-6 \[Pi],6 \[Pi]},{y,-6 \[Pi],6 \[Pi]}]

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在$y\to∞$时,$\cot(x+iy)\to1$