来自人教群的拐点共线

kuing

教师-wwdwwd117(2365*****)  18:09:53
$f(x)=\dfrac{x-1}{x^2+1}$
教师-wwdwwd117(2365*****)  18:10:20
求证这个函数的三个拐点在一条直线上
除了硬算拐点外，有没有简便方法

可以稍简便一点点，但离我所想要的还差不少，至少下面的解法仍难以看出命题者是怎么发现这一事实的。

求二阶导数得
\[f''(x)=\frac{2(x+1)(x^2-4x+1)}{(x^2+1)^3},\]
设 $x^2-4x+1=0$ 的两根为 $a$, $b$，则三个拐点为 $(-1,-1)$, $(a,f(a))$, $(b,f(b))$，故待证的等价于
\[\frac{f(a)+1}{a+1}=\frac{f(b)+1}{b+1}\iff \frac a{a^2+1}=\frac b{b^2+1} \iff (a-b)(1-ab)=0,\]
显然成立。

其妙

证明固然不容易，但发现问题更难。
三个拐点在一条直线上，怎么发现的？有什么结论？

kuing

我也想知道……

青青子衿

其妙

回复 4# 青青子衿
牛笔！这个都找得到！
什么书啊？

kuing

回复 4# 青青子衿

题目跟1#的几乎一样，但是他这里硬算了，我想应该也能像我上面那样设而不求，会简洁一些。

其妙

回复 6# kuing
对，书里省略了很多计算量吧。

kuing

回复 7# 其妙

不，我发现他的巧妙地方了，后面是用了行列式性质，最后一行 $\times(-4)$ 加到第二行上马上就看出是0了。
这样看，他同样还算是简洁的，不过我还是觉得我那种的计算量更少。

kuing

为方便观看，我将上面的图放正了。

realnumber

要不再构造出一个5次函数，或别的解析式为分式的函数，满足3个拐点共线的例子，积累经验.

青青子衿

此题可以推广为：
如果曲线\(C\colon\,y=\dfrac{ax^2+2bx+c}{\alpha\,\!x^2+2\beta\,\!x+\gamma}\)有三个拐点，则它们必在一条直线上。

（另外，想知道有没有三维的推广，或者有没有共线的三点三阶导取零 ）

参见：《数学分析习题讲义（上册）》谢惠民
P276, P411
en.wikipedia.org/wiki/Inflection_point

huing

回复 2# 其妙
任何一个三次曲线的三个实拐点（如果有）都在一条直线上。

huing

三点是否共线实际上是一种射影性质。在射影变换下很容易证明这种性质。
三次曲线的三个实拐点之所以共线，是因为总可以通过射影变换将三次曲线变成以其中任一拐点为原点的中心对称图形（即奇函数）。在这种情况下，其它两个拐点必然是中心对称点，故三拐点共线。
或者，也可以把任一拐点射影成无穷远点，将三次曲线变成一个轴对称图形。在这种情况下，另外两个拐点必是轴对称点，所以三拐点必定共线。
以本题为例，做一个射影变换
\begin{align*}
x&=\frac{x'-1}{x’+1}\\
y&=\frac{y'-1}{x'+1}
\end{align*}
原曲线方程就变成了
\[
y'=-\frac{2x'}{x'^2+1}
\]
一个拐点在原点，曲线成中心对称的，如下图。

青青子衿

回复 12# huing

回复  其妙
任何一个三次曲线的三个实拐点（如果有）都在一条直线上。
huing 发表于 2019-4-17 11:29

For irreducible cubics having three inflection points, de Gua proved in 1740 that the inflection points are collinear
Conics and Cubics: A Concrete Introduction to Algebraic Curves

其妙

回复 14# 青青子衿
你还会wa fen呢，不过这么多的英语，看不懂呀

hbghlyj

Microsoft研究：
Given the vector $d$, the inflection point polynomial is $I(t, s)=d_0 t^3-3 d_1 t^2 s+3 d_2 t s^2-d_3 s^3$
当$d_1\ne0$时根据$3 d_2^2-4 d_1 d_3\cases{>0\\<0\\=0}$分为3类
(a) Serpentine curve：直线$k$通过三个拐点。
(b) Loop curve：直线$k$通过二重点和拐点。
(c) Cusp curve：直线$k$通过尖点和拐点。