一个函数极值点的等价定理证明

hjfmhh

定理：（i）若 $x_0 \in[a, b]$，$f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0)<0$，则 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值
（ii）若 $x_0 \in[a, b]$，$f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0)>0$，则 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值
逆定理（i）若 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值，则 $f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0)<0$
（ii）若 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值，则 $f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0)>0$
这两个定理怎么证明？是不是对于可导函数两个定理都成立？

老司機

没有逆定理的，反例如y=x^4