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令 $n\ge2$ 且取任意素数 $q$，构造
$$
p_n(x)=(x-2q)(x-4q)\cdots(x-2nq)+q.
$$
显然 $p_n$ 为首一整系数多项式。由于 $(x-2q)\cdots(x-2nq)$ 的所有非首项系数均被 $q$ 整除，且常数项被 $q$ 整除但不被 $q^2$ 整除，故按 Eisenstein 准则可知 $p_n$ 在 $\Bbb Z[x]$ 中不可约。另一方面，设 $x_j=(2j+1)q$（$j=0,1,\dots,n$），可验得
$$
\operatorname{sgn}p_n(x_j)=(-1)^{n+j},
$$
因而在相邻的每个区间 $\bigl((2j+1)q,(2j+3)q\bigr)$ 上必有一实根。共 $n$ 个区间对应 $n$ 个正实根。 |
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