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hbghlyj
Post time 2024-4-18 21:43
另一种证明有界的方法：由这帖，可以乘以7个共轭式把分母变成多项式，然后$(47x-21)$就消掉了
$$\frac{47x-21}
{\sqrt{6} \sqrt{x (x+7)}+\sqrt{14} \sqrt{x (x+15)}+2 \sqrt{21} \sqrt{x (x+20)}-42}=\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}$$
$\frac{21}{47}$ 不是$Q_2(x)$的根（因为$(47x-21)$被消掉了 ），所以$\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}$在$\frac{21}{47}$连续。
代入$a=1,b=6,c=14$可以把$P_2(x)$、$Q_2(x)$写出：
$P_2(x)=(47x-21)$
$\times\left(-\sqrt{a b c (a+b+c)}-\sqrt{a b x (a+b+x)}+\sqrt{a c x (a+c+x)}+\sqrt{b c x (b+c+x)}\right)$
$\times\left(-\sqrt{a b c (a+b+c)}+\sqrt{a b x (a+b+x)}+\sqrt{a c x (a+c+x)}-\sqrt{b c x (b+c+x)}\right)$
$\times\left(-\sqrt{a b c (a+b+c)}+\sqrt{a b x (a+b+x)}-\sqrt{a c x (a+c+x)}+\sqrt{b c x (b+c+x)}\right)$
$\times\left(\sqrt{a b c (a+b+c)}+\sqrt{a b x (a+b+x)}+\sqrt{a c x (a+c+x)}+\sqrt{b c x (b+c+x)}\right)$
$\times\left(\sqrt{a b c (a+b+c)}-\sqrt{a b x (a+b+x)}+\sqrt{a c x (a+c+x)}+\sqrt{b c x (b+c+x)}\right)$
$\times\left(\sqrt{a b c (a+b+c)}+\sqrt{a b x (a+b+x)}+\sqrt{a c x (a+c+x)}-\sqrt{b c x (b+c+x)}\right)$
$\times\left(\sqrt{a b c (a+b+c)}+\sqrt{a b x (a+b+x)}-\sqrt{a c x (a+c+x)}+\sqrt{b c x (b+c+x)}\right)$
$Q_2(x)=(a+b+c+x)^3$
$\times16 (5 x - 21)$
$\times\left(x^3 \left(a^2 (b-c)^2-2 a b c (b+c)+b^2 c^2\right)-a b c x \left(2 a^2 (b+c)+a \left(2 b^2-3 b c+2 c^2\right)+2 b c (b+c)\right)+a^2 b^2 c^2 (a+b+c)+x^2 \left(a^3 (b-c)^2+a^2 (b+c)^3+a b c \left(-2 b^2+3 b c-2 c^2\right)+b^2 c^2 (b+c)\right)\right)$
这里的$16 (5 x - 21)$是原来的二次式除以$(47x-21)$的商。 |
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kuing
Post time 2024-4-18 12:45
总结一下：连续函数$P_1(x),Q_1(x),P_2(x),Q_2(x)$如果成立恒等式$\frac{P_1(x)}