一道月考题，涉及到“p或q”恒成立问题

第一章

开学第一周，累到像条狗一样，还好有双休，
今天整理了一下这几年高三的资料，发现了一个月考题，个人觉得原解法有误，贴一下
题．已知定义在$(-∞,-1)\cup(1,+∞)$上的奇函数$f(x)$满足：①$f(3)=1$；②对任意的$x>2$均有$f(x)>0$；③对任意的$x>0,y>0$，均有$f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1)$．
（1）求$f(2)$的值；
（2）证明$f(x)$在$(1,+∞)$上为增函数；
（3）是否存在实数$a$，使得$f(\cos^2θ+a\sinθ)<3$对任意的$θ∈(0,π)$恒成立？若存在，求出$a$的取值范围；若不存在，请说明理由．

第一章

其实上个月就发现有误了，只是今天才把完整的解答打了出来。
想想当初考试的时候怎么就没发现？这是多么显然的错误啊……

第一章

估计很多人没兴趣，不管了，先贴原解答：
分析：（1）在式子$f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1)$中，取$x=y=1$，得$f(2)=0$；
（2）在$(1,+∞)$任取$x_1,x_2$，且$x_1<x_2$，则$x_2-1>x_1-1>0,\frac{x_2-1}{x_1-1}>1$
于是$f(x_2)-f(x_1)=f(x_2-1+1)-f(x_1-1+1)=f(\frac{x_2-1}{x_1-1}+1)>0$，
即$f(x)$在$(1,+∞)$为增函数；
（3）取$x=y=2$，可得$f(5)=2$；取$x=2,y=4$，可得$f(9)=3$，
取$x=8,y=\frac{1}{8}$，可得$f(\frac{9}{8})=-3$；于是有$f(-\frac{9}{8})=3$，
结合$f(x)$的单调性，知$f(\cos^2θ+a\sinθ)<3$对任意的$θ∈(0,π)$恒成立等价于
$\cos^2θ+a\sinθ<-\frac{9}{8}$或$1<\cos^2θ+a\sinθ<9$对任意的$θ∈(0,π)$恒成立；
令$t=\sinθ$，则$0<t\le 1$，
$\cos^2θ+a\sinθ<-\frac{9}{8}$恒成立化为$t^2-at>\frac{17}{8}$，
即$a<t-\frac{17}{8t}$，但当$t→0^+$时，$t-\frac{17}{8t}→-∞$，上式不可能恒成立；
而$1<\cos^2θ+a\sinθ<9$恒成立化为$-8<t^2-at<0$，
即$t<a<t+\frac{8}{t}$恒成立，可得$1<a<9$.
综上所述，$1<a<9$.

第一章

第（3）问的解答，“$p$或$q$恒成立”等价于“$p$恒成立或者$q$恒成立”？显然不是.
那么，一般的含参问题“$f(x,m)>0$或$g(x,m)>0$对任意的$x\in D$恒成立”该怎么处理？

第一章

我的两种思路：
①$f(x,m)>0$在$D_1$上恒成立，同时$g(x,m)>0$在$\overline {D_1}$上恒成立；
②找到$m$的某个取值集合，使得$f(x,m)>0$在$D$上恒不成立，进而考虑$g(x,m)>0$在$D$上的取值情况即可。
采用思路②，回到原题：$t^2-at>\frac{17}{8}$或$-8<t^2-at<0$对任意$0<t\le 1$恒成立
当$a\le 0$时，$-8<t^2-at<0$在$0<t\le 1$上恒不成立；但$t^2-at$在$0<t\le 1$上单调递增，最小值为$0$，故$t^2-at>\frac{17}{8}$不恒成立；
当$a>0$时，$t^2-at$在$0<t\le 1$上的最大值为$0$或$1-a<1$，故$t^2-at>\frac{17}{8}$恒不成立；于是只要$-8<t^2-at<0$在$0<t\le 1$上恒成立，
即$t<a<t+\frac{8}{t}$恒成立，得$1<a<9$。

第一章

顺便说一下，本题的一个具体函数还是比较好找的.
当$x>0$时，我们令$f(x+1)=g(x)$，于是条件③变成了$g(x)+g(y)=g(xy)$，显然是对数函数；于是当$x>1$时，原题的具体函数是$f(x)=g(x-1)=log_2(x-1)$，
当然，缺乏充分性的证明，还是不能把函数具体化……

kuing

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有单调性，足以确定……

kuing

嗯，只是原解答错，题没错，那还好……

PS、“并”的代码是 \cup，尽量用代码。

其妙

回复 6# 第一章
学习了！
不过咋一看也没看出原解答的毛病？现在都没怎么动脑了，一动脑一细想就头痛。现在都是瞄一下，差不多就好了
详细说一下原解答错在哪里啊？

kuing

不是说了吗？

其妙

回复 10# kuing
没懂
第一章的意思是不是$h(\theta)$在$\theta\in(0,\pi)$时恒有$h(\theta)\in(-\infty,-\dfrac89)\cup(1,9)$，不能分成两个区间？
也就是可能部分$h(\theta)\in(-1,-\dfrac89)$，部分$h(\theta')\in(2,3)$，还有其他的$h(\theta'')\in(4,6)$之类的？
换句话说，也许有某个$a$的值使$h(\theta)$的值域是$h(\theta)\in(-1,-\dfrac89)\cup(2,3)\cup(4,6)$？
当然本题的$h(\theta)$的值域不可能是三个区间的并，因为$h(\theta)$是连续函数值域，应该只有一个区间

其妙

顺便提两个问题：
（1）命题$p$：$x\geqslant1$时，$f(x)=|x|\geqslant1$恒成立；命题$q$：$x\leqslant-1$时，$f(x)=|x|\geqslant1$恒成立；
那么命题“$p$或$q$”是什么？
（2）命题$p$：$x\geqslant1$时，$f(x)=|x|\geqslant1$恒成立；命题$q$：$x\leqslant0$时，$f(x)=|x|\geqslant1$恒成立；
那么命题“$p$或$q$”又是什么？真假性如何？

nash

那个参考答案的解答确实值得商榷
看了第一章老师的方法
我觉得也可以用等价命题--逆否命题来解决
$\forall x \in\left(a_0, b_0\right), f(x, m) \in\left(a_1, b_1\right)$ or $f(x, m) \in\left(a_2, b_2\right)$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围
假设 $\forall x \in\left(a_0, b_0\right), f(x, m) \in\left(a_1, b_1\right)$ 恒成立，$m$ 的取值范围是集合 $M_1$
$\forall x \in\left(a_0, b_0\right), f(x, m) \in\left(a_2, b_2\right)$ 恒成立，$m$ 的取值范围是集合 $M_2$
$\forall x \in\left(a_0, b_0\right), f(x, m) \in\left(a_1, b_1\right)$ or $f(x, m) \in\left(a_2, b_2\right)$ 恒成立，$m$ 的取值范围$M$
则 $M_1 \cup M_2 \subseteq M$ 因为可能存在 $m_1 \notin M_1$ 且 $m_1 \notin M_2$ 但是
\[
\forall x \in\left(a_0, c_1\right], f\left(x, m_1\right) \in\left(a_1, b_1\right), \forall x \in\left(c_1, b_0\right) f\left(x, m_1\right) \in\left(a_2, b_2\right)
\]
对于含有＂或＂的命题的关问题，可以优先考虑用逆否命题来解决
回到原题，套用第一章老师的解题过程
原命题的否定为 $\exists \theta \in(0, \pi), \cos ^2 \theta+a \sin \theta \in\left[-\frac{9}{8}, 1\right] \cup[9,+\infty)$ ，换元转化为 $\exists t \in(0,1], t^2-a t \in(-\infty,-8] \cup\left[0, \frac{17}{8}\right]$ 有解，解得 $a \leq 1$ or $a \geq 9$

所以原命题 $a$ 的取值范围为 $a \in(1,9)$

其妙

回复 13# nash
你们的意思都是觉得答案没错，是过程错了？
12楼的问没人回答啊？太简单了吧，

hongxian

回复 13# nash
这样来看原解答过程虽然错误，结果确是一样的！

kuing

过程错而最终结果一样的常有……

其妙

回复 16# kuing
这话显然对的……

第一章

顺便提两个问题：
（1）命题$p$：$x\geqslant1$时，$f(x)=|x|\geqslant1$恒成立；命题$q$：$x\leqslant-1$ ...
其妙 发表于 2013-9-9 00:43

其妙这两个问题，“$p$或$q$恒成立”与“$p$恒成立或$q$恒成立”应该是等价的。
不过，很多题目出现的是在同一个定义区间上“$p$或$q$恒成立”，比如含参的绝对值不等式这类问题。
如果不是命题者故意刁难，就是命题者想错了……

其妙

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