拓扑基 |
\begin{definition} 设 $(X,\mathscr{T})$ 是拓扑空间，$\mathscr{B} \subset \mathscr{T}$，如果 $\mathscr{T}$ 中的任意元素都可以表成 $\mathscr{B}$ 中元素的并，即 $$
\forall U \in \mathscr{T}, \exists \mathscr{B}_1 \subset \mathscr{B}, \text{使得 } U = \bigcup_{B \in \mathscr{B}_1} B
$$ 则称 $\mathscr{B}$ 是一个拓扑基。 \end{definition} \begin{example} 设 $(X,\rho)$ 是度量空间，则所有的球形邻域是其一组拓扑基：任意开集 $U$ 都可以表示成球形邻域 $B(x,\epsilon_x),x\in U$ 的并。 \end{example} \begin{example} 离散空间中的所有单点集是其一组拓扑基。 \end{example} \begin{theorem} 设 $(X,\mathscr{T})$ 是拓扑空间，$\mathscr{B} \subset \mathscr{T}$。则 $\mathscr{B}$ 是一组拓扑基的充分必要条件是：对任意的 $x \in X, U \in \mathscr{U}_x$，存在 $B \in \mathscr{B}$ 使得 $x \in B \subset U$。 \end{theorem} \begin{proof} 必要性. $\forall x \in X, U \in \mathscr{U}_x$，存在 $V_x \in \mathscr{T}$ 使得 $x \in V_x \subset U$，由 $\mathscr{B}$ 是拓扑基可知 $\exists \mathscr{B}_1 \subset \mathscr{B}$ 使得 $V_x = \bigcup_{B \in \mathscr{B}_1} B$，于是存在某个 $W_x \in \mathscr{B}_1$ 使得 $$
x \in W_x \subset \bigcup_{B \in \mathscr{B}_1} B = V_x \subset U.
$$ 充分性. 任取 $U \in \mathscr{T}$，则 $\forall x \in U, U \in \mathscr{U}_x$，于是 $\exists B_x \in \mathscr{B}$ 使得 $x \in B_x \subset U$。于是 $$
U = \bigcup_{x \in U} \{x\} \subset \bigcup_{x \in U} B_x \subset U.
$$ 这就是 $$
U = \bigcup_{x \in U} B_x.
$$ 以上即言 $X$ 中任意的开集都可表示成 $\mathscr{B}$ 中元素的并，从而 $\mathscr{B}$ 是一组拓扑基。 \end{proof} \begin{remark} 拓扑基的定义是一种全局的概念，而定理1等价地给出了一种局部的定义方式。 \end{remark} \begin{theorem} 设 $(X,\mathscr{T})$ 是拓扑空间，$\mathscr{B}$ 是其拓扑基。则 \begin{enumerate} \item $X = \bigcup_{B \in \mathscr{B}} B$； \item $\forall B_1, B_2 \in \mathscr{B}, x \in B_1 \cap B_2, \exists B \in \mathscr{B}, \text{使得 } x \in B \subset B_1 \cap B_2$。 \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} (1) 显然。 (2) 由开集的交是开集，知 $B_1 \cap B_2 \in \mathscr{U}_x$。由定理1即得结论。 \end{proof} \begin{theorem} 设 $X$ 是集合，$\mathscr{B} \subset \mathcal{P}(X)$，如果 $\mathscr{B}$ 满足 \begin{enumerate} \item $X = \bigcup_{B \in \mathscr{B}} B$； \item $\forall B_1, B_2 \in \mathscr{B}, x \in B_1 \cap B_2, \exists B \in \mathscr{B}, \text{使得 } x \in B \subset B_1 \cap B_2$， \end{enumerate} 则存在 $X$ 上唯一的拓扑，使得 $\mathscr{B}$ 恰好是 $X$ 的拓扑基。 \end{theorem} \begin{proof} 令 $$
\mathscr{T} = \{ U \subset X \mid \mathscr{B}_U \subset \mathscr{B}, U = \bigcup_{B \in \mathscr{B}_U} B \}.
$$ 先证它是一个拓扑。 首先显然 $\emptyset, X \in \mathscr{T}$（空集自然，$X \in \mathscr{T}$ 是由(1)）。 任取 $U_1, U_2 \in \mathscr{T}$，则 $U_i = \bigcup_{B_i \in \mathscr{B}_i} B_i, i = 1, 2$，于是 $$
U_1 \cap U_2 = \left(\bigcup_{B_1 \in \mathscr{B}_1} B_1\right) \cap \left(\bigcup_{B_2 \in \mathscr{B}_2} B_2\right) = \bigcup_{B_1 \in \mathscr{B}_1, B_2 \in \mathscr{B}_2} (B_1 \cap B_2).
$$ 而由(2)可知固定 $B_1, B_2$，$\forall x \in B_1 \cap B_2$，存在 $B_x \in \mathscr{B}$ 使得 $x \in B_x \subset B_1 \cap B_2$，由定理1中类似的讨论可知 $$
B_1 \cap B_2 = \bigcup_{x \in B_1 \cap B_2} B_x，
$$ 于是 $$
U_1 \cap U_2 = \bigcup_{B_1 \in \mathscr{B}_1, B_2 \in \mathscr{B}_2} \bigcup_{x \in B_1 \cap B_2} B_x \in \mathscr{T}。
$$ 任取 $\mathscr{T}_1 = \{ U_i \mid i \in I \} \subset \mathscr{T}$，则对每个 $U_i$，$\exists \mathscr{B}_i \subset \mathscr{B}$ 使得 $U_i = \bigcup_{B_i \in \mathscr{B}_i} B_i$，从而 $$
\bigcup_{i \in I} U_i = \bigcup_{i \in I} \bigcup_{B_i \in \mathscr{B}_i} B_i \in \mathscr{T}.
$$ 因此 $\mathscr{T}$ 确实是一个拓扑。由拓扑基的定义，立即得到 $\mathscr{B}$ 是其一组拓扑基。 最后证唯一性。假设还有另一个拓扑 $\mathscr{T}^*$ 以 $\mathscr{B}$ 为拓扑基，则 $$
U \in \mathscr{T} \Leftrightarrow U = \bigcup_{B \in \mathscr{B}} B \Leftrightarrow U \in \mathscr{T}^*。
$$ 上式即言 $\mathscr{T} = \mathscr{T}^*$。 \end{proof} |