\begin{proposition} 设$PT$是过圆锥曲线$\rho(\theta)=\frac{ep}{1-e\cos\theta}$焦点$F$的弦，若$PT$的倾斜角为$\alpha$，则有$\abs{PT}=\frac{2ep}{\abs{1-e^2\cos^2\alpha}}$。 \end{proposition} \begin{proof} 由极径的几何意义知

\end{proof}

\begin{proposition}[焦点三角形的面积] 设$F_1(-c,0), F_2(c,0)$为圆锥曲线的两个焦点，$P$为曲线上一点且与顶点不重合，$\angle F_1PF_2 = \theta$，则 \begin{enumerate} \item 在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$中有$S_{\triangle PF_1F_2} = b^2 \tan \frac{\theta}{2}$。 \item 在双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1 (a, b > 0)$中有$S_{\triangle PF_1F_2} = b^2 \cot \frac{\theta}{2}$。 \end{enumerate} \end{proposition} \begin{proof} \begin{enumerate} \item 由椭圆的定义有$PF_1+PF_2 = 2a$，所以$PF_1^2+PF_2^2+2PF_1 \cdot PF_2 = 4a^2$，由余弦定理有$(2c)^2 = F_1F_2^2 = PF_1^2+PF_2^2-2PF_1 \cdot PF_2 \cdot \cos\theta$，联立可解出$PF_1 \cdot PF_2 = \frac{2(a^2-c^2)}{1+\cos\theta}$，所以 \[S_{\triangle PF_1F_2} = \frac{1}{2}PF_1 \cdot PF_2 \cdot \sin\theta = \frac{(a^2-c^2)\sin\theta}{1+\cos\theta} = b^2\tan\frac{\theta}{2}\] \item 由双曲线的定义有$\abs{PF_1-PF_2} = 2a$，所以$PF_1^2+PF_2^2-2PF_1 \cdot PF_2 = 4a^2$，由余弦定理有$(2c)^2 = F_1F_2^2 = PF_1^2+PF_2^2-2PF_1 \cdot PF_2 \cdot \cos\theta$，联立可解出$PF_1 \cdot PF_2 = \frac{2(a^2-c^2)}{-1+\cos\theta}$，所以 \[S_{\triangle PF_1F_2} = \frac{1}{2}PF_1 \cdot PF_2 \cdot \sin\theta = \frac{(a^2-c^2)\sin\theta}{-1+\cos\theta} = b^2\cot\frac{\theta}{2}\] \end{enumerate} \end{proof}