\begin{proposition} 设椭圆$\Gamma: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上有两点$A,B$，点$C$是$AB$的中点，则$k_{OC}\cdot k_{AB}=-\frac{b^2}{a^2}$。 \end{proposition} \begin{proof} 考察仿射变换$\varphi: (x,y)\mapsto(\frac{x}{a},\frac{y}{a})$，在$\varphi$的作用下，椭圆$\Gamma: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$变为单位圆$\Gamma': x'^2+y'^2=1$。$\varphi$将直线$Ax+By+C=0$变为$Aax'+Bby'+C=0$，因此斜率由$k=-\frac{A}{B}$变为$k'=-\frac{Aa}{Bb}$，因此$k=\frac{b}{a}k'$。

注意仿射变换保持单比，因此$AB$的中点$C$变为$A'B'$的中点$C'$。在$\Gamma'$中显然有$OC'\perp A'B'$，于是$k_{OC'}\cdot k_{A'B'}=-1$，注意$k=\frac{b}{a}k'$，因此$k_{OC}=\frac{b}{a}k_{OC'}, k_{AB}=\frac{b}{a}k_{A'B'}$，于是$k_{OC}\cdot k_{AB}=-\frac{b^2}{a^2}$。 \end{proof}

• 二次曲线上射影对应的两点所成直线包络二次曲线

\begin{theorem} 射影复平面内，二次曲线$g$上射影对应的两点所成直线包络另一条二次曲线$h$，且$g$和$h$有两个公切点. \end{theorem} \begin{proof}

• 第1步：证明在射影平面内，二次曲线$g$上的射影对应$f:A \mapsto B$有两个不动点$U,V$，则直线$AB$包络以$U,V$为公切点的另一条二次曲线$h$ \end{proof}