几个群都在转的不等式

v6mm131

若$ a,b,c\geqslant 0,a+b+c=3.证明：\frac{a}{b^3+16}+\frac{b}{c^3+16}+\frac{c}{a^3+16}\geqslant \frac{1}{6} $

kuing

比想象中容易。
抓住特别的$(0,1,2)$取等条件，再局部切线法就可以了。

首先由
\[\frac1{x^3+16}-\left(\frac1{16}-\frac{x^2}{192}\right)=\frac{x^2(x-2)^2(x+4)}{192(x^3+16)},\]
可知
\[\sum\frac a{b^3+16}\geqslant\sum a\left(\frac1{16}-\frac{b^2}{192}\right)=\frac3{16}-\frac1{192}\sum ab^2,\]
于是只需证
\[\frac3{16}-\frac1{192}\sum ab^2\geqslant\frac16,\]
即
\[\sum ab^2\leqslant4,\]
这由熟知的
\[ab^2+bc^2+ca^2+abc\leqslant\frac4{27}(a+b+c)^3\]
立得，即得证。

啊，这题要是在当年写《切线法》之前遇到就好了，不错的题材。

hjfmhh

回复 2# kuing

其妙

回复 3# hjfmhh

其妙

不妨设$a$最大，则$ab^2+bc^2+ca^2\leqslant ab^2+abc+ca^2$

${\kern 125pt}=a[b^2+c(b+a)]$

${\kern 125pt}\leqslant a[\dfrac12(b+a)b+c(b+a)]$

${\kern 125pt}=\dfrac12a[(b+a)(b+2c)]$

${\kern 125pt}\leqslant \dfrac12\left (\dfrac{a+b+a+b+2c}3\right)^3=4$

hjfmhh

回复 5# 其妙


    其实排序加均值就可以，另外kuing的$\frac{1}{16}-\frac{x^2}{192}$是待定出来的

其妙

回复 6# hjfmhh
昨晚看见了黄老师发表在数学通讯上面的关于不等式的两篇文章了，黄老师高手哟！

其妙

回复 5# 其妙
这里也有：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=281

kuing

回复 8# 其妙

擦，咋还扯这个，搞错重点了吧，这题关键就第一步而已，后面的都无足轻重。

周险峰

说好的局部切线法咧！$f(x)=\frac1{x^3+16}$与$g(x)=\frac1{16}-\frac {x^2}{192}$的关系能理解，只是不知道右边的二次函数是怎么搞出来的？
说说我的理解，请k神指导：
1.$f(x)$与$g(x)$在$(0,+\infty)$上有两个交点$(0,\frac1{16})$和$(2,\frac1{24})$；
2.切线是做不到在两个地方放缩的，所以想到二次函数？？