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$P$是单位圆上的定点.以$O$为焦点,$x$轴为对称轴,过$P$作抛物线.
$A$在单位圆上运动,$AP$交抛物线于$P,B$.
$AB$中点为$M$,作出$M$的轨迹,发现点$P$是一个奇点,所以$M$运动到$P$时速度为0,所以这时$A$和$B$的速度正好抵消(它们是相反方向,相同大小).
我们移动点$P$,发现恰有一个位置能够使得$P$处有两条不同的切线(直观上,曲线的两段刚好接触而不穿过).
| $P$处有1条切线 |
| | $P$处有2条切线 |
| | $P$处有3条切线 |
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然后我们可以列出三个关于∠APO和∠OP(直线OP的倾角)的方程,把这个临界的点$P$的位置找到:
$M$运动到$P$时$P$是$AB$中点,这是前两个方程;
上面说了,$M$运动到$P$时$A$和$B$的速度正好抵消,所以圆在$A$处的切线与抛物线在$B$处的切线平行,这是第三个方程.(由于只有2个变量,所以可以不使用这个方程)
(其实还可以通过$P$处的曲线的偏导为0得出两个方程,但是这两个方程比较繁琐)
求解过程在kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=8817
结果是∠OP=0.955396 rad=54.7402°
cos(∠OP)满足三次方程$$-83 + 49 x + 32 x^2 + 8 x^3=0$$
根式解是$$\cos(∠OP)=\frac{1}{6} \left(\frac{\sqrt[3]{783 \sqrt{58}+5962}}{2^{2/3}}-\frac{19}{\sqrt[3]{2 \left(783 \sqrt{58}+5962\right)}}-8\right)$$
Geogebra文件:
1.ggb
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