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教师-小农(4310***) 14:59:36
教师-小农(4310***) 15:00:05
发个数列题目，安徽竞赛最后一题，只有答案。没有过程
话说，解答题又怎么会“只有答案。没有过程”？真怪，不管它了，玩玩看。
前段时间见过类似的递推式，学会了求通项方法，来实践一下：
（1）由递推式得
\begin{align*}
a_na_{n-2}&=(1+a_{n-1})^2 ,\\
a_{n+1}a_{n-1}&=(1+a_n)^2 ,
\end{align*}
相减得
\[a_{n+1}a_{n-1}-a_na_{n-2}=a_n^2+2a_n-a_{n-1}^2-2a_{n-1},\]
显然 $a_n$ 全为正，故整理得
\[\frac{a_{n+1}+a_{n-1}+2}{a_n}=\frac{a_n+a_{n-2}+2}{a_{n-1}},\]
易计算得 $a_3=9$，故
\[\frac{a_{n+1}+a_{n-1}+2}{a_n}=\frac{a_3+a_1+2}{a_2}=6,\]
即
\[a_{n+1}=6a_n-a_{n-1}-2,\]
配凑为
\[a_{n+1}-\frac12=6\left( a_n-\frac12 \right)-\left( a_{n-1}-\frac12 \right), \]
记特征方程 $x^2=6x-1$ 的两根分别为 $\alpha=3+2\sqrt2$, $\beta=3-2\sqrt2$，则易解得
\[a_n=\frac12+\frac{\alpha^{n-1}}4+\frac{\beta^{n-1}}4;\]
（2）对于奇数项，有\[a_{2k+1}=\frac12+\frac{\alpha^{2k}}4+\frac{\beta^{2k}}4=\frac12+\left( \frac{\alpha^k}2+\frac{\beta^k}2 \right)^2-\frac{\alpha^k\beta^k}2=(2a_{k+1}-1)^2,\]
由（1）知 $a_n$ 全为正整数，故奇数项为都完全平方数；
对于偶数项，有
\begin{align*}
\frac{a_{2k}}2&=\frac14+\frac{\alpha \cdot \alpha^{2k-2}}8+\frac{\beta \cdot \beta^{2k-2}}8 \\
& =\frac14+\left( \sqrt{\frac{\alpha }8}\cdot \alpha^{k-1}+\sqrt{\frac{\beta}8}\cdot \beta^{k-1} \right)^2-\frac{\sqrt{\alpha \beta }\alpha^{k-1}\beta^{k-1}}4 \\
& =\left( \sqrt{\frac{\bigl(1+\sqrt2\bigr)^2}8}\cdot \alpha^{k-1}+\sqrt{\frac{\bigl(1-\sqrt2\bigr)^2}8}\cdot \beta^{k-1} \right)^2 \\
& =\left( \frac{2+\sqrt2}4\cdot \alpha^{k-1}+\frac{2-\sqrt2}4\cdot \beta^{k-1} \right)^2,
\end{align*}
令
\[b_k=\frac{2+\sqrt2}4\cdot \alpha^{k-1}+\frac{2-\sqrt2}4\cdot \beta^{k-1},\]
容易验证其满足 $b_1=1$, $b_2=5$ 且 $b_{k+2}=6b_{k+1}-b_k$，所以 $b_k$ 全为正整数，故偶数项的一半亦为完全平方数。 |
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睡神
发表于 2013-9-19 02:18
