\(2x^2+y^2\)的最小值

isee

设实数\(x,y\) 满足$5x^2-4xy-y^2=5$，则\(2x^2+y^2\)的最小值为（    ）

C. \(\frac 53\)

kuing

`-4xy\leqslant 2kx^2+\frac 2ky^2` 找适当的 k

TSC999

用拉格郎日乘数法可以按步就班地做这类题。

isee

回复 3# TSC999

嗯，总是忘记符号判断，这个取点有点线性规划的意思，学习了

kuing

令 `F=2 x^2 + y^2 - \lambda (5 x^2 - 4 x y - y^2)`，令 `F` 关于 `x` 的 `\Delta=0`，解出两 `\lambda` 代回去得两完全平方式，最大最小值同时得出。

isee

回复 5# kuing


    我一会儿把判断式法写一下，不含`\lambda`的....

================


设$2x^2+y^2=t$，则$y^2=t-2x^2$，于是
\begin{align*}
16x^2(t-2x^2)&=(7x^2-t-5)^2\\
0&=49x^4-(14t+70)x^2+(t+5)^2\\
81x^4-(30t+70)x^2+(t+5)^2&=0\\
\Delta=(30t+70)^2-4\cdot 81\cdot(t+5)^2&\geqslant 0\\
\cdots&
\end{align*}

kuing

回复 6# isee

这稍微麻烦啊，要是目标函数也有 xy 项，就更不好消了（并非不行

isee

回复 7# kuing


    是呐是呐，这是针对此题的特殊解法~

isee

回复 2# kuing


虽是迟来的，还是来了，kuing 的方式真是计算量小哇，等价转化后为$$(2k+5)x^2+\left(\frac 2k-1\right)y^2\geqslant 5,$$令$$k=\frac 12$$即是，学习了~佩服~现在才懂~

isee

源自知乎提问，题：若 $x^2-4xy+5y^2=1$, 求 $x^2+y^2$ 的范围.


法1：配方为 $(x-2y)^2+y^2=1,$

设 $\left\{\begin{aligned} x-2y&=\cos \theta,\\y&=\sin\theta, \end{aligned}\right.$ 则 $\left\{\begin{aligned} x&=2\sin\theta+\cos \theta,\\y&=\sin\theta, \end{aligned}\right.$

于是
\begin{align*} x^2+y^2&=(2\sin\theta+\cos\theta)^2+\sin^2\theta\\[1em] &=1+4\sin^2\theta+4\sin\theta\cos\theta\\[1em] &=2\sin2\theta-2\cos2\theta+3\\[1em] &=2\sqrt 2\sin\left(2\theta+\frac {\pi}4\right)+3\\[1em] \Rightarrow x^2+y^2&\in [-2\sqrt 2+3,2\sqrt 2+3]. \end{align*}






法2：设 $x^2+y^2=t,$ 则 $x^2=1-y^2$ 于是有

\begin{gather*} x^2-4xy+5y^2=1\\[1em] 16x^2y^2=(x^2+5y^2-1)^2\\[1em] 16(t-y^2)y^2=(t-y^2+5y^2-1)^2=(4y^2+(t-1))^2\\[1em] 32\cdot (y^2)^2-8(t+1)\cdot (y^2)+(t-1)^2=0\\[1em] \Rightarrow \ \ \Delta=64(t+1)^2-4\cdot 32 (t-1)^2\geqslant 0\\[1em] t^2-6t+1\leqslant 0\\[1em] 3-2\sqrt 2\leqslant t \leqslant 3+2\sqrt 2.   \end{gather*}

取"="略.





刚学会2#的：


法3：取常数 $k>0,$ 由均值不等式，令 $-4xy\leqslant 2kx^2+\frac 2ky^2,$

又由已知有 $-4xy=1-x^2-5y^2，$ 于是

$\begin{gather*} 1-x^2-5y^2\leqslant 2kx^2+\frac 2ky^2,\\[1em] (2k+1)x^2+\left(\frac 2k+5\right)y^2\geqslant 1, \end{gather*}$

再令 $2k+1=\frac 2k+5\Rightarrow k\iff k^2-2k-1=0 \iff k=1\pm \sqrt 2,$

取 $k=1+\sqrt 2，$ 则 $x^2+y^2\geqslant \frac 1{2k+1}=\frac 1{3+2\sqrt 2}=3-2\sqrt 2.$ 取"="略.


同样的，取常数 $k'>0,$ 满足 $4xy\leqslant 2k'x^2+\frac 2{k'}y^2,$ 可得 $k'=-1+\sqrt 2$ , $x^2+y^2\leqslant 3+2\sqrt 2.$

综上……

kuing

回复 10# isee

昨天看到 zhihu.com/question/495174965 就想到这帖（那时你的回答里只有解法一），本来想说又没说，估计你自己会想起来，果然呢

hbghlyj

用拉格郎日乘数法可以按步就班地做这类题。
TSC999 发表于 2021-9-2 18:55

我以为"为什么是最小值而不是最大值"这里用代入一个点判断欠妥,因为拉格朗日乘数得到的点还可能是鞍点,不是极值点.
如果用Hessian判断:
$\begin{vmatrix}\frac23&\frac43\\\frac43&\frac83\end{vmatrix}=0$
这样也不行.

hbghlyj

这种属于是"Second partial derivative test is inconclusive",没有通用方法的..
参见维基百科 the point (a, b) could be any of a minimum, maximum or saddle point.

isee

回复 11# kuing

对你太简单了。。。。。

我是觉得三角代换高效，其他的方式应该留白一下，
结果还是自己补充了，顺便落实了含参数的均值不等式。。。

不过，化二元二次式为标准型，用仿射性质来写，——第一次见，似乎计算量要小。

player1703

二次型$f(x)=x^TAx$可通过正交变换$x=Py$化为标准型$y^T\Lambda y$ 其中$\Lambda=\begin{pmatrix} \lambda_1 & \\ & \lambda_2\end{pmatrix}$ 为对角阵 $\lambda_1, \lambda_2$ 为$A$的两个特征值. $P$的列向量为对应的特征向量. 当二次型正定时$f(x)=c (c >0)$为椭圆 (高维为椭球) 此时$||x||^2$ 最值为最长和最短的两个半轴的平方(圆与椭圆相切)也就是最小和最大的特征值倒数乘以c.
原题中二次型$x^2-4xy+5y^2$矩阵$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$特征值为$3\mp2\sqrt2$所以最大值和最小值分别为它们的倒数$3\pm2\sqrt2$此时还可以算出正交的单位特征向量$\frac{1}{\sqrt{4-2\sqrt2}}\begin{pmatrix}1 \\ \sqrt2-1\end{pmatrix}$与$\frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt2}}\begin{pmatrix}-1 \\ \sqrt2 + 1\end{pmatrix}$为椭圆长轴与短轴的方向
一楼的题需要令$x'=\sqrt2x$变成$x'^2+y^2$在$5x'^2-4\sqrt2x'y-2y^2=10$下的最值$\begin{pmatrix}5 & -2\sqrt2 \\ -2\sqrt2 & -2\end{pmatrix}$特征值为6和-3不是正定二次型(双曲线)所以只有最小值$\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$负的特征值对应双曲线的虚轴
实际上正交变换不是唯一的化简二次型的变换前面各种方法本质上都是通过某些变换化简二次型(比如配方法)只不过正交变换有长度不变的特性(因为$P^TP=I$ 从而$||x||^2=||Py||^2=(Py)^T(Py)=y^TP^TPy=y^Ty=||y||^2$),对于这题处理起来比较简便 而且对于正定二次型的情形这种方法很容易推广到高维其它有的方法比如三角代换只能在二维用