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isee
Posted at 2021-10-30 00:37:17
Last edited by isee at 2022-3-16 15:05:00源自知乎提问，题：若 $x^2-4xy+5y^2=1$, 求 $x^2+y^2$ 的范围.
法1：配方为 $(x-2y)^2+y^2=1,$
设 $\left\{\begin{aligned} x-2y&=\cos \theta,\\y&=\sin\theta, \end{aligned}\right.$ 则 $\left\{\begin{aligned} x&=2\sin\theta+\cos \theta,\\y&=\sin\theta, \end{aligned}\right.$
于是
\begin{align*} x^2+y^2&=(2\sin\theta+\cos\theta)^2+\sin^2\theta\\[1em] &=1+4\sin^2\theta+4\sin\theta\cos\theta\\[1em] &=2\sin2\theta-2\cos2\theta+3\\[1em] &=2\sqrt 2\sin\left(2\theta+\frac {\pi}4\right)+3\\[1em] \Rightarrow x^2+y^2&\in [-2\sqrt 2+3,2\sqrt 2+3]. \end{align*}
法2：设 $x^2+y^2=t,$ 则 $x^2=1-y^2$ 于是有
\begin{gather*} x^2-4xy+5y^2=1\\[1em] 16x^2y^2=(x^2+5y^2-1)^2\\[1em] 16(t-y^2)y^2=(t-y^2+5y^2-1)^2=(4y^2+(t-1))^2\\[1em] 32\cdot (y^2)^2-8(t+1)\cdot (y^2)+(t-1)^2=0\\[1em] \Rightarrow \ \ \Delta=64(t+1)^2-4\cdot 32 (t-1)^2\geqslant 0\\[1em] t^2-6t+1\leqslant 0\\[1em] 3-2\sqrt 2\leqslant t \leqslant 3+2\sqrt 2. \end{gather*}
取"="略.
刚学会2#的：
法3：取常数 $k>0,$ 由均值不等式，令 $-4xy\leqslant 2kx^2+\frac 2ky^2,$
又由已知有 $-4xy=1-x^2-5y^2，$ 于是
$\begin{gather*} 1-x^2-5y^2\leqslant 2kx^2+\frac 2ky^2,\\[1em] (2k+1)x^2+\left(\frac 2k+5\right)y^2\geqslant 1, \end{gather*}$
再令 $2k+1=\frac 2k+5\Rightarrow k\iff k^2-2k-1=0 \iff k=1\pm \sqrt 2,$
取 $k=1+\sqrt 2，$ 则 $x^2+y^2\geqslant \frac 1{2k+1}=\frac 1{3+2\sqrt 2}=3-2\sqrt 2.$ 取"="略.
同样的，取常数 $k'>0,$ 满足 $4xy\leqslant 2k'x^2+\frac 2{k'}y^2,$ 可得 $k'=-1+\sqrt 2$ , $x^2+y^2\leqslant 3+2\sqrt 2.$
综上…… |
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kuing
Posted at 2021-8-30 22:24:19
TSC999
Posted at 2021-9-2 18:55:39
