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个人做法: 若 $A^2-2AB+B^2=0$, 显然有
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(xI-A)^2-2(xI-A)(xI-B)+(xI-B)^2=0.
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从而只需证明 $\det (A)=\det (B)$. 化原式为 $A(A-B)=(A-B)B$.
1. $n=1$ 时, $\det A=\det B$ 是显然的.
2. 若 $n\leq k-1$ 时成立 ($k\geq 2$), 下证明 $n=k$ 时 $\det A=\det B$.
a. 若 $A-B$ 可逆, 则显然.
b. 若 $\ker(A-B)=:V\neq 0$, 则 $AV=BV\subseteq V$. 注意到 $A|_V=B|_V$, 从而在 $V\oplus V^\perp$ 下有矩阵表示
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A=\begin{pmatrix}C_V&A_{12}\\O&A_{22}\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}C_V&B_{12}\\O&B_{22}\end{pmatrix}.
$$
带入原式得 $A_{22}^2-2A_{22}B_{22}+B_{22}^2=0$, 据归纳假设知
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\det A=\det C_V\cdot \det A_{22}=\det C_V\cdot \det B_{22}=\det B.
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