证明 $S^{-1} P S^{-1}$ 是自伴的

hbghlyj

令 $V$ 为 $n$ 维实内积空间，令 $Q$ 为从 $V$ 到 $V$ 的可逆、正定、自伴线性变换，$S$为自伴线性变换，$S^2 = Q$
(c) 设 $P$ 是从 $V$ 到 $V$ 的自伴线性变换。证明 $S^{-1} P S^{-1}$ 是自伴的。由此推导出$V$中存在标量$\lambda_1, \ldots, \lambda_n$和线性无关向量$e_1, \ldots, e_n$使得$i, j=1,2, \ldots, n $ :
(i) $P e_i=\lambda_i Q e_i$
(ii) $\left\langle P e_i, e_j\right\rangle=\lambda_i \delta_{i j}$
(iii) $\left\langle Q e_i, e_j\right\rangle=\delta_{i j}$

来源Linear algebra 2016第4题

hbghlyj

$(S^{-1} P S^{-1})^*=(S^{-1})^*P^*(S^{-1})^*=S^{-1} P S^{-1}$
所以 $S^{-1} P S^{-1}$ 是自伴的, 由谱定理, 存在$\lambda_1,\cdots,\lambda_n\in\Bbb R$和$V$的一组正交基$v_1,\cdots,v_n$使$S^{-1} P S^{-1}v_i=λ_iv_i$.
然后$P S^{-1}v_i=λ_iSv_i=λ_iQ S^{-1}v_i$, 令$e_i=S^{-1}v_i$, 则$Pe_i=λ_iQe_i$, (i)证毕.
因为$v_i$线性无关, 所以$e_i=S^{-1}v_i$线性无关.
因为$v_i$是$V$的一组正交基, 所以$\left\langle Q e_i, e_j\right\rangle=\left\langle S^2 e_i, e_j\right\rangle=\left\langle S e_i,S e_j\right\rangle=\left\langle v_i,v_j\right\rangle=\delta_{i j}$, (iii)证毕.
由(i)(iii)得$\left\langle P e_i, e_j\right\rangle=λ_i\left\langle Q e_i, e_j\right\rangle=λ_i\delta_{i j}$, (ii)证毕.

hbghlyj

$S^{-1}PS^{-1}=Q^{-1/2}PQ^{-1/2}$
搜了一下, 关于Generalized Eigenvalue Problem的问题也出现了$B^{-1/2}AB^{-1/2}$
在Matlab中, 用 [V,D] = eig(A,B) 可以计算Generalized Eigenvalue Problem
不知有什么关系