复平面上解析几何构图法例子

TSC999 · 发表于 2023-3-23 19:09

本帖最后由 TSC999 于 2023-3-23 19:59 编辑 构图方法（1）

字母上面有一横线者表示共轭复数。变量 \(u \)、 \(v \) 均为单位复数，因此 \(\overline{u}=1/u\)，\(\overline{v}=1/v\)。

构图法 7.png

此时各点复坐标如下（推导过程略去）：
构图法 7 坐标.png

① AB 的复斜率 kAB = u^4; AC 的复斜率 kAC = 1/v^4; MN是BI的垂直平分线; MG是CI的垂直平分线; GN是AI的垂直平分线; 即 IG1 = G1B; IN1 = N1C; IM1 = M1A;
② \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = o = 0; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = c = 1; a = (u^4 (v^4 - 1))/( u^4 v^4 - 1);
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = (v^4 - 1)/(u^4 v^4 - 1);
③ \[EmptyUpTriangle]ABC 的外心坐标 o = (u^4 v^4)/(u^4 v^4 - 1); \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = 1/(1 - u^4 v^4);
外接圆半径 R = ( I u^2 v^2)/(u^4 v^4 - 1)。
④ \[EmptyUpTriangle]ABC 的内心坐标 i = (u^2 (v^2 - 1))/(u^2 v^2 - 1); \!\(\*OverscriptBox[\(i\), \(_\)]\) = (v^2 - 1)/(u^2 v^2 - 1); 内切圆半径 r = (I (u^2 - 1) (v^2 - 1))/(2 (1 - u^2 v^2));
⑤ 对偶 \[EmptyUpTriangle]MGN 各顶点坐标： m = (u^2 v^2)/(u^2 v^2 - 1); \!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\) = 1/(1 - u^2 v^2); n = (u^4 (v^2 - 1) v^2)/(u^4 v^4 - 1); \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\) = (v^2 - 1)/(u^4 v^4 - 1);
g = (u^2 (u^2 v^4 - 1))/(u^4 v^4 - 1); \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) = (u^2 v^4 - 1)/(u^4 v^4 - 1);
⑥ 切点 D、E、F 的坐标： d = ((u^2 + 1) (v^2 - 1))/(2 u^2 v^2 - 2); \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = ((u^2 + 1) (v^2 - 1))/( 2 u^2 v^2 - 2); e = ((v^2 - 1) (2 u^2 v^2 + u^2 - 1))/(2 v^2 (u^2 v^2 - 1)); \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = ((v^2 - 1) ((u^2 - 1) v^2 - 2))/(2 (1 - u^2 v^2)); f = (u^2 (u^2 + 1) (v^2 - 1))/(2 (u^2 v^2 - 1));
\!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = ((u^2 + 1) (v^2 - 1))/( 2 u^2 (u^2 v^2 - 1));
⑦ 三个垂足 M1、G1、N1 的坐标：m1 = (u^2 (v^2 - 1) (2 u^2 v^2 + u^2 + 1))/( 2 (u^4 v^4 - 1));
\!\(\*OverscriptBox[\(m1\), \(_\)]\) = ((v^2 - 1) (u^2 v^2 + v^2 + 2))/(2 (u^4 v^4 - 1));
n1 = (2 u^2 v^2 - u^2 - 1)/(2 ( u^2 v^2 - 1)); \!\(\*OverscriptBox[\(n1\), \(_\)]\) = (u^2 v^2 + v^2 - 2)/( 2 ( u^2 v^2 - 1)); g1 = (u^2 (v^2 - 1))/(2 ( u^2 v^2 - 1)); \!\(\*OverscriptBox[\(g1\), \(_\)]\) = (v^2 - 1)/(2 ( u^2 v^2 - 1));
⑧ \[EmptyUpTriangle]ABC 的各边长度：BC = 1; AB = (u^2 (v^4 - 1))/(u^4 v^4 - 1); AC = v^2(u^4 - 1)/(u^4 v^4 - 1);
AM = (u v (u^2 + v^2) I)/(u^4 v^4 - 1);
⑨ BM 弧的中点 p = ( I u^3 v^3 - u^4 v^4)/(1 - u^4 v^4); \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = ( 1 + I u v)/( 1 - (u^4) (v^4) ); CM 弧的中点 q = (u^4 v^4 + I u v)/(u^4 v^4 - 1); \!\(\*OverscriptBox[\(q\), \(_\)]\) = (I u^3 v^3 - 1)/(u^4 v^4 - 1);
G1N1 // BC; M1N1 // AC; M1G1 // AB;
Subscript[G, 1] I = Subscript[G, 1] B;
Subscript[N, 1] I = Subscript[N, 1] C;
Subscript[M, 1] I = Subscript[M, 1] A;
⑩ 九点圆圆心坐标：o9 = (u^4 (v^4 - 1) - 1)/(2 u^4 v^4 - 2); \!\(\*OverscriptBox[\(o9\), \(_\)]\) = ((u^4 + 1) v^4 - 1)/(
2 u^4 v^4 - 2);

复制代码

注： △mng 是 △ABC 的对偶三角形。

TSC999 · 发表于 2023-3-23 19:10

本帖最后由 TSC999 于 2023-3-23 19:59 编辑 构图方法（2）
构图法 2.png

各点复坐标：

注：变量 \(u \)、 \(v \) 均为单位复数，因此 \(\overline{u}=1/u\)，\(\overline{v}=1/v\)。

TSC999 · 发表于 2023-3-23 20:00

本帖最后由 TSC999 于 2023-3-23 20:23 编辑 构图方法（3）
构图法 3.png

各点坐标：

TSC999 · 发表于 2023-3-23 20:23

本帖最后由 TSC999 于 2023-3-23 20:33 编辑 构图方法（4）
构图法 4.png

各点坐标：

TSC999 · 发表于 2023-3-23 20:23

本帖最后由 TSC999 于 2023-3-23 20:48 编辑 构图方法（5）
构图法 5.png

各点坐标：

TSC999 · 发表于 2023-3-23 20:24

本帖最后由 TSC999 于 2023-3-23 21:17 编辑 构图方法（6）
构图法 6.png

各点坐标：

TSC999 · 发表于 2023-3-23 21:16

本帖最后由 TSC999 于 2023-3-23 21:44 编辑 构图法（7）
构图法 7.png

各点坐标：

TSC999 · 发表于 2023-3-23 22:13

构图法（8）

各点坐标：

TSC999 · 发表于 2023-3-23 22:15

本帖最后由 TSC999 于 2023-3-23 22:32 编辑 构图法（9）
构图法 9.png

各点坐标:

TSC999 · 发表于 2023-3-23 22:44

构图法（10）

各点坐标:

注：有些点图中没有示出。

uk702 · 发表于 2023-3-24 08:38

好资料，必需收藏，谢谢。

TSC999 · 发表于 2023-4-12 17:53

本帖最后由 TSC999 于 2023-4-13 11:16 编辑 构图法 (11)
新构图.png

注：内切圆半径为 1。

TSC999 · 发表于 2023-4-13 11:19

说明：每一种构图中，都很容易求出垂心、重心、费尔巴哈点、角平分线与对边的交点、垂线与对边的交点，.........等等各种点的坐标。上面示例中，许多点的坐标没有给出，读者需要时可自行计算。
计算方法见复平面上的解析几何部分公式:
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=10421&extra=page%3D1

		自动登录	找回密码
密码			快速注册