$\{(x,y):x≥0,y≥0,x^3+y^3≤3xy\}$的面积

hbghlyj

1. ImplicitRegion[x^3+y^3<=3 x y&&x>=0&&y>=0,{x,y}]//Area

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输出 1.5
是否是精确值的呢? Try it online

1. Area[ImplicitRegion[x^3 + y^3 <= 3 x y && x >= 0 && y >= 0, {x, y}]] == 1.5

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输出False
🤔

色k

是精确的。

绕原点顺时针旋转 `45\du` 后区域变成
\[\bigl(\sqrt2x-3\bigr)x^2+\bigl(3\sqrt2x+3\bigr)y^2\leqslant0\land x\geqslant\abs y,\]
可得
\begin{align*}
S&=2\int_0^{3/\sqrt2}{x\sqrt{\frac{3-\sqrt2x}{3\sqrt2x+3}}}\rmd x\\
&=\int_0^3{t\sqrt{\frac{3-t}{3t+3}}}\rmd t\\
&=\frac32.
\end{align*}

hbghlyj

$$x^3 + y^3 + 1 - 3 x y\le1$$
可以分解
$$(1 + x + y) (1 - x - y + x^2 - x y + y^2)\le1$$
🤔