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有限群 $G$ 上的自同构 $f$ 满足 $f\circ f=\mathrm{id}_G$. 若 $f$ 唯一的不动点是单位元 $e$, 求证 $f(g)=g^{-1}$.
来源
注意到集合间映射 $\varphi:G\to G,g\mapsto g^{-1}\cdot f(g)$, 则
\[
[\varphi(g)=\varphi(h)]\Leftrightarrow [g^{-1}f(g)=h^{-1}f(h)]\Leftrightarrow [hg^{-1}=f(hg^{-1})]\Leftrightarrow [hg^{-1}=e]\Leftrightarrow [h=g].
\]
从而 $\varphi$ 是单射. 由于 $G$ 有限, 故 $\varphi$ 是双射, 因此任意 $g\in G$ 可写作 $x^{-1}\cdot f(x)$ 的形式. 此时
\[
f(g)=f(x^{-1}f(x))=f(x^{-1})x=f(x)^{-1}(x^{-1})^{-1}=(x^{-1}f(x))^{-1}.
\]
此时 $G$ 交换. 因为 $gh=f((gh)^{-1})=f(h^{-1}g^{-1})=f(h^{-1})f(g^{-1})=hg$. |
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hbghlyj
Posted at 2023-6-5 17:50:48
