$\frac{\cosh ^{-1}(x)}{\sqrt{x-1}}$在0的级数

hbghlyj

$x\inC$\[\frac{\cosh ^{-1}(x)}{\sqrt{x-1}}=\sum _{n=0}^{\infty } \mathit{c}_n x^n\]其中$\mathit{c}_0=\frac{\pi }{2},\mathit{c}_1=\frac{\pi }{4}-1$
\[(2 n+1)^2 \mathit{c}_n=(-4 n-4) \mathit{c}_{n+1}+4 (n+1) (n+2) \mathit{c}_{n+2}\]
如何得到的呢

来自WolframAlpha

Czhang271828

首先注意到 $(2n+1)^2c_n=4n(n-1)c_n+8nc_n+c_n$.

记 $[f]$ 为 $f(x)$ 在某定点 Taylor 展开的第 $k$ 项系数, 其中 $k$ 充分大. 那么待证明的结论即
$$
[4x^2f''+8xf'+f]=-4[f']+4[f''].
$$
从而存在常数 $A$ 与 $B$ 使得
$$
4(x^2-1)f''+4(2x+1)f'+f=A+Bx.
$$

Wolfram 说这是 $0$ 那就是 $0$ 吧.

Czhang271828

此处 Taylor 级数的系数递推关系也是合乎情理的. 因为
\[
\mathrm{span}_{\mathbb F(x)}\{f,f',f'',\ldots \}=\mathrm{span}_{\mathbb F(x)}\{\sqrt{x-1}\cdot \cosh^{-1}(x), \sqrt{x+1}\}.
\]