含n!的级数

hbghlyj

$$u_n=\frac{n^n}{e^nn!}$$证$\sum_{n=1}^\infty u_n$发散。 尝试比值审敛法 \[\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{(n + 1)^{n + 1}}{e^{n + 1}(n + 1)!} \cdot \frac{e^{n}n!}{n^{n}}= \frac{(1 + \frac{1}{n})^{n}}{e}<1\] 趋于1，无法判断敛散性
SumConvergence[n^n/E^n/n!, n] 结果为

hbghlyj

类似题
根据Stirling存在常数$c,C$
\[\frac{c}{\sqrt{n}}\le \frac{(\frac{n}{e})^n}{n!}\le \frac{C}{\sqrt{n}}.\]
因为$\sum_n \frac{1}{\sqrt{n}}$发散，所以原级数发散。