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MSE帖子说torus可以是平坦的，即Gaussian curvature恒为零。
下面的回答我看不懂，但可以计算一下：$\mathbb{T}=\mathbb S^1\times\mathbb S^1=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x^2+y^2=z^2+t^2=1\right\}$的参数化为$$\mathbf{r}(u, v)=(\cos u, \sin u, \cos v, \sin v), \quad u, v \in(0,2 \pi)$$
因此，$\mathbb{T}$ 的第一基本形式是 $\mathrm{d} u^2 + \mathrm{d} v^2$，因此 $\mathbb{T}$ 与平面 $\mathbb{R}^2$ 局部等距同构。
由于 $\mathbb{T}$ 是紧致的，而 $\mathbb{R}^2$ 是非紧致的，所以 $\mathbb{T}$ 显然不是与 $\mathbb{R}^2$ (全局)等距同构的。
（事实上， flat torus 与 $\mathbb{R}^3$ 中任何曲面都不等距同构，因为在$\Bbb R^3$中的紧致光滑曲面的Gaussian curvature在某一点是正的。）
容易看出 $\mathbb{T}$ 的面积是 $4\pi$. |
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