$\set{f(x,y)≤0}$由3部分組成，$\deg f$至少是？

hbghlyj

unitsize(7mm);
import contour; // load the contour module
real f(real x, real y) { // define the function
  return abs((x+1/2)+I*(y-sqrt(3)/2))*abs((x+1/2)+I*(y+sqrt(3)/2))*abs((x-1)+I*y);
}
real[] levels = {.95}; // define the contour levels
draw(contour(f,(-2,-2),(2,2),levels),linewidth(1)); // generate the contour guides實系數多項式$f(x,y)$，$\deg f=d$，
若$\set{(x,y)\inR^2|f(x,y)≤0}$有界，且由3個連續部分組成，最小的$d$是？

例如：desmos.com/calculator/xolnqsfgy3
\begin{equation}\label1
f=(\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2})(\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2})(\left(x-1\right)^{2}+y^{2})-0.95^2
\end{equation}
因此$d_\min\le6\kern100px$

hbghlyj

一個想法：存在一條直線$l$，曲線和$l$有4個交點，所以至少是4次的
unitsize(2cm);
import contour; // load the contour module
real f(real x, real y) { // define the function
  return abs((x+1/2)+I*(y-sqrt(3)/2))*abs((x+1/2)+I*(y+sqrt(3)/2))*abs((x-1)+I*y);
}
real[] levels = {.95}; // define the contour levels
draw(contour(f,(-2,-2),(2,2),levels),linewidth(1)); // generate the contour guides
draw((0,2)--(-1,-3));
clip(box((-1,-1.2),(2,1.2)));

hbghlyj

unitsize(7mm);
import contour; // load the contour module
real f(real x, real y) { // define the function
  return abs((x+1/2)+I*(y-sqrt(3)/2))*abs((x+1/2)+I*(y+sqrt(3)/2))*abs((x-1)+I*y);
}
real[] levels = {1}; // define the contour levels
draw(contour(f,(-2,-2),(2,2),levels),linewidth(1)); // generate the contour guides若\eqref{1}将0.95改為$1$\[x^6 + 3x^4y^2 - 2x^3 + 3x^2y^4 + 6xy^2 + y^6=0\]解出$y^2$，分解成3個式子之积，其中一個式子是desmos.com/calculator/gskmqcmmao
\[y^{2}=-x^{2}-\frac{2^{\frac{2}{3}}x}{(2x^{3}+\sqrt{2}\sqrt{2x^{6}+x^{3}})^{\frac{1}{3}}}+2^{\frac{1}{3}}(2x^{3}+\sqrt{2}\sqrt{2x^{6}+x^{3}})^{\frac{1}{3}}\]

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-2-10 14:26
一個想法：存在一條直線$l$，曲線和$l$有4個交點，所以至少是4次的

是否存在4次的$f$，$\Set{(x,y)\inR^2|f(x,y)\le0}$有界，且由3個連續部分組成

hbghlyj

$\set{(x,y)\inR^2|f(x,y)≤0}$有3個分離的部分，說明$f(x,y)$有3個最小值！例如\eqref{1}最小值是在$(x,y)=$$(-\frac12,\pm\frac{\sqrt3}2),(1,0)$處取到。
能否證明一個4次的$f$在平面上不可能有3個最小值