等边三角形内一点$P$到三边的距离$P_1P_2P_3$的最值

abababa

如图，$\triangle A_1A_2A_3$是边长为$4$的等边三角形，在三边上取点$B_1,B_2,B_3$，满足$A_1B_1=A_2B_2=A_3B_3=1$，如图交成小的等边$\triangle C_1C_2C_3$，点$P$在$\triangle C_1C_2C_3$的内部和边界上活动，设点$P$到$\triangle A_1A_2A_3$三边的距离分别为$P_1,P_2,P_3$，求乘积$P_1P_2P_3$的最值。

最小值应该是在$\triangle C_1C_2C_3$的顶点处取到，最大值我猜测是在中心处取到。有没有什么直接点的方法，不用太多的线段计算，就证明这个取最值的位置？

abababa

最大值就是$P_1P_2P_3\le(\frac{P_1+P_2+P_3}{3})^3=(\frac{h}{3})^3$，其中$h$是大三角形的高，这样必然在中心处取得。

kuing

先证明 `P_1P_2P_3` 取最小值时 P 一定在边界上。

固定 `P_1`，则 `P_2+P_3` 为定值，那么 `P_2P_3` 最小 `\iff\abs{P_2-P_3}` 最大。
而 `P_1` 固定时 `P` 在一线段上，当 `P` 从线段的一端移到另一端时显然 `P_2` 与 `P_3` 的单调性相反，因此 `P_2-P_3` 是单调的，则 `\abs{P_2-P_3}` 是单调或者先减后增，无论如何，最大值都不可能在线段内部，所以 `P_1P_2P_3` 取最小值时 P 一定在边界上。

再证明 `P_1P_2P_3` 取最小值时 P 一定在 `\triangle C_1C_2C_3` 顶点上。

假设 `P` 在线段 `C_2C_3` 的内部，则过 `P` 作 `A_1A_2` 和 `A_1A_3` 的平行线交 `C_1C_2` 和 `C_1C_3` 于 `Q` 和 `R`，则……有点难表达……

煮饭先……

abababa

kuing 发表于 2024-2-22 18:33
先证明 `P_1P_2P_3` 取最小值时 P 一定在边界上。

固定 `P_1`，则 `P_2+P_3` 为定值，那么 `P_2P_3` 最小  ...

这样的话，把$\triangle C_1C_2C_3$按对称轴作对称，得到六边形如图。那么让$P$点在六边形里活动，$P_1P_2P_3$的最小值仍是原来的那个。然后由对称性，设$E$是$MN$的中点，$F$是$C_3D_1$的中点，那么只要限制$P$在$ME$上活动，$M$在$C_3F$上活动就行了。

设$M$到三边的距离为$M_1,M_2,M_3$，设$F$到三边的距离为$F_1,F_2,F_3$，设$C_3$到三边的距离为$C_{31},C_{32},C_{33}$，这样就有$P_1P_2P_3\ge M_1M_2M_3$，然后同样的原理，根据$M_1\ge F_1=F_2\ge M_2$和$C_{31}>C_{33}$有$0<M_1-M_2<C_{31}-C_{33}$，并且$M_1+M_2+M_3=h$也是定值，就得到$M_1M_2M_3\ge C_{31}C_{32}C_{33}$，最后就有$P_1P_2P_3\ge C_{31}C_{32}C_{33}$了。

不过这个是不是具有普遍性呢？比如$P$不在正三角形里活动，而是在一个中心和大三角形重合的正五边形里活动，是不是还能在顶点处取到最小值？如果是的话，那么以中心为圆心，作五边形的外接圆，那么$P$在这个圆里活动时，最小值必定在边界处取得。

kuing

abababa 发表于 2024-2-23 12:11
这样的话，把$\triangle C_1C_2C_3$按对称轴作对称，得到六边形如图。那么让$P$点在六边形里活动，$P_1 ...

这个对称作得好😃这样论证起来确实好多了

至于普遍性问题，我猜想多边形都一定是在顶点处取最小。
这只需证明：
对于正三角形内的任意一条线段，都一定是在端点处取最小。
论证可能需要凸性啥的。
（甚至正三角形还可以改为任意给定的三角形）

考虑使 $P_1P_2P_3=k$ 的点的轨迹，先用 mma 画来看看：
（正放到坐标系上且中心为原点，不妨设内切圆半径为 1）

1. ContourPlot[(Cos[30 Degree] x + Sin[30 Degree] y -
2.     1) (Cos[150 Degree] x + Sin[150 Degree] y - 1) (y + 1), {x, -2,
3.   2}, {y, -2, 2}, Contours -> Range[0, 1, 0.1]]

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abababa

kuing 发表于 2024-2-23 14:56
这个对称作得好😃这样论证起来确实好多了

至于普遍性问题，我猜想多边形都一定是在顶点处取最小。

如果证明了线段的情况，那么在凸多边形内活动的点，只要它不活动到边界上，就可以作一条线段使得它和边界有交点，这样达到最小值时，$P$就必须在边界上活动了，而边界又一定是凸多边形的一条边，也有端点，而此时的端点就是多边形的顶点，继续用线段的情况，$P$必须得活动到端点处才能达到最小值，也就必须得活动到多边形顶点才行。

现在看来，主要问题就是怎么证明线段的情况。

kuing

这只需证明：
对于正三角形内的任意一条线段，都一定是在端点处取最小。

还是得用代数方法去说明。

设三角形三边所在直线为 `A_ix+B_iy+C_i=0`（`i=1`, `2`, `3`），点 `P(x,y)` 在直线 `Ax+By+C=0` 上，则由点到直线距离公式，有
\[P_1P_2P_3=\prod_{i=1,2,3}\frac{\abs{A_ix+B_iy+C_i}}{\sqrt{A_i^2+B_i^2}},\]
先排除特殊情况，假设 `Ax+By+C=0` 与三边交于三点。

则由 `Ax+By+C=0` 消去 `y`，可知 `P_1P_2P_3=\abs{f(x)}` 其中 `f(x)` 是三次函数，并且有三个实根，分别对应那三个交点，那么在两个相邻交点之间，`\abs{f(x)}` 都是先增后减的，所以对于两个相邻交点内的任意线段，要么单调要么先增后减，所以最小值一定在端点取得。

至于特殊情况，比如直线过三角形顶点，那就是三根中有两根相等，在与另一根之间的部分也是一样的。如果是平行于一边，那 `f(x)` 就是二次函数，两根之间也一样。

这样一来，不仅三角形可以任意，多边形区域（不必要求凸）还可以在三角形外（与三边所在直线无交点），都一定是顶点取最小。

abababa

kuing 发表于 2024-2-23 15:46
还是得用代数方法去说明。

设三角形三边所在直线为 `A_ix+B_iy+C_i=0`（`i=1`, `2`, `3`），点 `P(x,y)`  ...

原来如此，我想的是用参数方程表示出线段，参数$t\in[a,b]$，这样最后求表达式的最小值，但没弄出什么结果。