一个三元不等式

lemondian

已知$a,b,c$为正实数，且$k\geqslant 2$，求证：$(a^k+2)(b^k+2)(c^k+2)\geqslant 3^{3-k}(a+b+c)^k$。

另外，这个不等式能不能推广到$n$元？

kuing

当年我在《数学空间》2011 年第 2 期 P.37~38 曾得到如下推广：

那将 2 次方改为 `k\geqslant2` 次方（变量改为正数）时，由上述结论再加上幂平均，就有
\begin{align*}
\prod_{i=1}^n(x_i^k+n-1)&=\prod_{i=1}^n\Bigl(\bigl(x_i^{k/2}\bigr)^2+n-1\Bigr)\\
&\geqslant n^{n-2}\left(\sum_{i=1}^nx_i^{k/2}\right)^2\\
&=n^n\left(\left(\frac1n\sum_{i=1}^nx_i^{k/2}\right)^{2/k}\right)^k\\
&\geqslant n^n\left(\frac1n\sum_{i=1}^nx_i\right)^k\\
&=n^{n-k}(x_1+x_2+\cdots+x_n)^k.
\end{align*}