一个三角形角平分的相关不等式

lemondian

猜想  设$R,r$分别为$\triangle ABC$的外接圆半径与内切圆半径，$D,E,F$分别为$BC,CA,AB$上的点，且$AD,BE,CF$平分$\triangle ABC$的三个内角，求证：$\dfrac{DE}{AB}+\dfrac{EF}{BC}+\dfrac{FD}{CA}\leqslant \dfrac{3}{2}$。

kuing

R 和 r 没用到？（我怀疑原题的不等式里是有 R r 的吧😏

kuing

由余弦定理
\[DE^2=CD^2+CE^2-2CD\cdot CD\cdot\cos C,\]
记 `AB=c`, `BC=a`, `CA=b`，则由角平分线定理易知
\[CD=\frac{ba}{c+b},~CE=\frac{ab}{c+a},~\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab},\]
代入上面化简可得
\[DE^2=\frac{abc\bigl(c(c+a)(c+b)-(a-b)^2(a+b+c)\bigr)}{(c+a)^2(c+b)^2}
\leqslant\frac{abc^2}{(c+a)(c+b)},\]
所以
\[\sum\frac{DE}{AB}\leqslant\sum\sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}\leqslant\frac12\sum\left(\frac a{c+a}+\frac b{c+b}\right)=\frac32.\]

lemondian

kuing 发表于 2024-3-12 00:11
R 和 r 没用到？（我怀疑原题的不等式里是有 R r 的吧😏

命题  设$R,r$分别为$\triangle ABC$的外接圆半径与内切圆半径，$D,E,F$分别为$BC,CA,AB$上的点，且$AD,BE,CF$平分$\triangle ABC$的三个内角。
证明或否定 ：$\dfrac{DE}{AB}+\dfrac{EF}{BC}+\dfrac{FD}{CA}\leqslant \sqrt{1+\dfrac{5r}{R+2r}}$。

lemondian

lemondian 发表于 2024-5-10 09:01
命题  设$R,r$分别为$\triangle ABC$的外接圆半径与内切圆半径，$D,E,F$分别为$BC,CA,AB$上的点，且$AD,B ...

请各位帮忙证明一下这个题吧

lemondian

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