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kuing
posted 2024-3-12 00:58
由余弦定理
\[DE^2=CD^2+CE^2-2CD\cdot CD\cdot\cos C,\]
记 `AB=c`, `BC=a`, `CA=b`,则由角平分线定理易知
\[CD=\frac{ba}{c+b},~CE=\frac{ab}{c+a},~\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab},\]
代入上面化简可得
\[DE^2=\frac{abc\bigl(c(c+a)(c+b)-(a-b)^2(a+b+c)\bigr)}{(c+a)^2(c+b)^2}
\leqslant\frac{abc^2}{(c+a)(c+b)},\]
所以
\[\sum\frac{DE}{AB}\leqslant\sum\sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}\leqslant\frac12\sum\left(\frac a{c+a}+\frac b{c+b}\right)=\frac32.\] |
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