三个两两相切的圆

hbghlyj

uk702 发表于 2023-4-9 00:10
ref/GeometricScene

12个切点都不重合. 不知这种如何构造.

想用

1. RandomInstance[
2. GeometricScene[{{o1, o2, o3, o4, o5, o6}, {r1, r2, r3, r4, r5,
3.     r6}}, {c1 == Circle[o1, r1], c2 == Circle[o2, r2],
4.    c3 == Circle[o3, r3], c4 == Circle[o4, r4], c5 == Circle[o5, r5],
5.    c6 == Circle[o6, r6],
6.    GeometricAssertion[{c1, c2, c3}, "PairwiseTangent"],
7.    GeometricAssertion[{c1, c5, c6}, "PairwiseTangent"],
8.    GeometricAssertion[{c4, c2, c6}, "PairwiseTangent"],
9.    GeometricAssertion[{c4, c5, c3}, "PairwiseTangent"]}]]

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但是输出的图形都是退化情况（很多圆相切于一个点）

uk702

我自己做了一些尝试，但多数时候很不幸地玩不转（水平太低~~~），给出的表达式到处都是根号

hbghlyj

三角形是等边的特殊情况容易解出内外圆半径比为$5-2\sqrt6$：

1. RandomInstance[GeometricScene[{o1,o2,o3,o4,o5,o6},{Circle[o1,1],Circle[o2,1],Circle[o3,1],Circle[o4,5-2 Sqrt[6]],Circle[o5,5-2 Sqrt[6]],Circle[o6,5-2 Sqrt[6]],GeometricAssertion[Triangle[{o1,o2,o3}],"Equilateral"],o1+o2+o3==0,EuclideanDistance[o1,o2]==2,o4==-(5-2 Sqrt[6])o1,o5==-(5-2 Sqrt[6])o2,o6==-(5-2 Sqrt[6])o3}]]

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一般情况不知道怎么作。

hejoseph

kuing.cjhb.site/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=12019&pid=58258
我在这里曾经回复过将两圆反演成等圆的结论（若两圆相等，则反演圆心轨迹都在圆外或都在两圆内时就是两圆圆心的中垂线）。根据那里的结论，若反演圆圆心都在两圆外或都在两圆内时反演圆圆心轨迹圆是两圆圆心的外分点，反演圆圆心在一圆内且在另一圆外时反演圆圆心轨迹圆是两圆圆心的内分点，到两圆圆心距离比都为 $r_1:r_2$。而且如果两圆相交（相切），则轨迹圆也过这些交点。
因此只要作两个圆（有可能为中垂线），其交点为反演圆圆心，则能将三个圆反演为等圆，在作内部三圆，再反演回去则得到解。因为一般圆相交有两个点，此时解也有两种情形，看图吧。其中绿色是反演圆心轨迹圆，淡蓝色的是反演圆。

hbghlyj

hejoseph 发表于 2024-4-4 07:57
因为一般圆相交有两个点，此时解也有两种情形，看图吧。其中绿色是反演圆心轨迹圆，淡蓝色的是反演圆。

原来如此，谢谢！

先前我问过可以把三个圆反演成等圆，只是一时忘记了