周期函数的充要条件

lemondian

如何证明下面这个：
给定正实数$a_1<a_2<\cdots <a_n$和非零实数$b_1,b_2,\cdots ,b_n$，判断$f(x)=\sum_{k=1}^nb_k\sin(a_kx)$为周期函数的充要条件为$\dfrac{a_k}{a_1}\inQ$，且最小正周期满足$a_kT$均可表为$2b_k\pi(b_k\inN^*)$的最小正数$T$。

hbghlyj

lemondian 发表于 2024-4-24 08:28
$2b_k\pi(b_k\inN^*)$

符号$b_k$重复了吧。前面已经有“非零实数$b_k$”了，这里又定义了“正整数$b_k$”吧。

hbghlyj

相关：
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=382
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=4623&pid=51750

lemondian

hbghlyj 发表于 2024-4-24 18:03
符号$b_k$重复了吧。前面已经有“非零实数$b_k$”了，这里又定义了“正整数$b_k$”吧。 ...

原文照抄的：

hbghlyj

lemondian 发表于 2024-4-24 11:35
原文照抄的：

这是什么资料呢

hbghlyj

lemondian  发表于 2024-4-24 13:14
网上看到的，不知是什么资料

如果有出处，可以问问原作者吧

lemondian

求$f(x)=|\sin\dfrac{x}{2}+\sin\dfrac{x}{3}+sin\dfrac{x}{4}|$的最小正周期。

hbghlyj

lemondian 发表于 2024-4-25 08:34
求$f(x)=|\sin\dfrac{x}{2}+\sin\dfrac{x}{3}+\sin\dfrac{x}{4}|$的最小正周期。

$24π$吧。wolframalpha.com/input?i=Period%5BAbs%5BSin%5Bx%2F2%5D%2BSin%5Bx%2F3%5D%2BSin%5Bx%2F4%5D%5D%5D

$\sin\dfrac{x}{2}+\sin\dfrac{x}{3}+\sin\dfrac{x}{4}$的圖象：

hbghlyj

lemondian 发表于 2024-4-25 08:43
能与1#的东东联系起来不？

应该是$4\pi,6\pi,8\pi$的最小公倍数吧。
$4\pi\Bbb Z\cap 6\pi\Bbb Z\cap 8\pi\Bbb Z=24\pi\Bbb Z$